Operatore momento angolare totale: differenze tra le versioni

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{{C|Scritto in forma "da libro di testo" ("vediamo...", "come abbiamo visto..."); da riscrivere in forma enciclopedica. Inoltre, entra troppo nel dettaglio delle dimostrazioni; bisognerebbe riportare solo i risultati e al limite i passaggi più rilevanti, lasciando all'apparato bibliografico il compito di scendere nel dettaglio.|fisica|maggio 2013}}
Il '''momento angolare totale''' in [[meccanica quantistica]] genera le [[Rotazione (matematica)|rotazioni]] nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]] <math>\hat {\mathbf{L}} = \hat {\mathbf{r}} \times \hat {\mathbf{p}} </math> perché si generalizza anche al [[Spin|momento angolare di spin]] e soprattutto è usato nella [[composizione di momenti angolari]], essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.
 
Si può dimostrare che il momento angolare totale <math>\hat{ \mathbf{J}}</math> è il generatore delle rotazioni nello spazio, ma questo argomento è proposto per il momento angolare orbitale a cui si rimanda.
 
==Le proprietà del momento angolare totale==
Il momento angolare totale, analogamente al [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]], genera le rotazioni lungo un asse: la [[funzione d'onda]] <math>\psi (x)</math> ruotata di un angolo <math>\phi</math> attorno all'asse ''z'', diventa:
 
:<math>\psi' (x) = \hat R_z(\phi) \psi (x) = e^{i \phi J_z} \psi (x)</math>
cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>.
 
Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli [[Operatore posizione|operatori di posizione]] e [[Operatore impulso|impulso]] trascurando i calcoli espliciti che sono simili a quelli del [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]]:
 
:<math>[\hat J_x, \hat x] = 0 </math>
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_+ \hat J_- + \hat J_{z}^{2} - \hat J_z \hbar = \hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hat J_z \hbar</math>
 
Il significato di <math>\hat J_{\pm}</math> è analogo a quello visto nel [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]]. Vediamo come <math>\hat J_z</math> agisce sullo [[stato quantico|stato]] <math>\hat J_{\pm}|j,m_j \rangle</math>:
 
:<math>\hat J_z \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \left([\hat J_z, \hat J_{\pm}] + \hat J_{\pm} \hat J_z \right) |j,m_j \rangle = (\hat J_{\pm} \hat J_z \pm \hbar \hat J_{\pm} ) |j , m_j \rangle = \hbar (b \pm 1) \left(\hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right)</math>
*[[Numero quantico]]
*[[Spin]]
*[[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|Momento angolare orbitale]]
*[[Autofunzioni del momento angolare]]
*[[Composizione di momenti angolari]]