Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

Queste costituiscono un [[insieme di generatori]] di uno [[spazio vettoriale]] n-dimensionale, che prende il nome di [[spazio delle configurazioni]] del sistema, mentre non è necessario che siano [[linearmente indipendenti]]. Ciò non è vero ad esempio in presenza di [[Vincolo (meccanica razionale)|vincoli]] che legano tra di loro alcune tra le <math>r_j</math>.

 

Dato uno sistema meccanico con <math>n</math> gradi di libertà con <math>\{q_1,\dots,q_n\}</math> coordinate generalizzate, se una funzione del moto non dipende dall'i-esima coordinata generalizzata <math>q_i</math>, la coordinata è detta '''ciclica''' per la funzione.

 

\frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} \sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_n)^2}{\partial q_i \partial q_j} \dot q_i \dot q_j </math>

 

:<math> \quad \nabla_i T_{(\bar 0)} = \frac{\partial}{\partial q_i} \sum_{k = 1}^N m_k \mathbf x_k \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} = \sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_k)^2}{\partial q_i \partial t}, \, </math> per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate: <math>\nabla m_k = \bar 0, \, </math>

:<math>H_{ij} T_{(\bar 0)} = \frac{{\partial}^2}{\partial q_i \partial q_j} \sum_{k = 1}^N m_k (\mathbf x_k)^2 = \sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_k)^2}{\partial q_i \partial q_j}, \, </math> per sistemi classici in cui la [[Massa (fisica)|massa]] non dipende dalle coordinate generalizzate: <math>\underline{\underline H} m_k = \bar 0.</math>