Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

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Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà, tre per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella, ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 grado di vincolo). Una scelta conveniente delle variabili generalizzate consiste, in questo caso, nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.
 
Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale, ad esempio una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\varphi : \mathbb{R} \longrightarrowto \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>, ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
 
Analogamente un corpo vincolato ad una [[superficie (matematica)|superficie]] ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni, ha due gradi di libertà, quindi una scelta di coordinate conveniente può essere <math>\{x, y, z\} = \{\theta, A\}</math>, dove <math>\theta</math> e <math>A</math> sono, rispettivamente, l'angolo e la superficie spazzate dal vettore posizione. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\lbrace {r_1, r_2\rbrace} = \lbrace {\theta,\phi \rbrace }</math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]., Lainoltre, la coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.
 
Un doppio [[pendolo]] costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani <math>(x,y)</math>, con l'asse <math>y</math> verticale discendente, da quattro [[coordinate cartesiane]] <math>\lbrace {x_1, y_1, x_2, y_2\rbrace}</math>, ma il sistema ha solo due [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili generalizzate l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo <math>\lbrace {r_1, r_2\rbrace} = \lbrace{\theta_1, \theta_2 \rbrace}</math> otteniamo le seguenti relazioni:
 
:<math>\lbrace {x_1, y_1 \rbrace} = \lbrace {l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \rbrace}</math>
:<math>\lbrace {x_2, y_2 \rbrace} = \lbrace {l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2 , l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_2 \rbrace}</math>
 
dove <math>l_1</math> è la lunghezza del pendolo vincolato all'origine e <math>l_2</math> è la lunghezza del pendolo vincolato all'estremità libera dell'altro.