Differenze tra le versioni di "Equazione del moto"

→‎Equazioni del moto con il tempo come funzione: elimino sezione senza senso, vedi discussione
(correzioni di notazione)
(→‎Equazioni del moto con il tempo come funzione: elimino sezione senza senso, vedi discussione)
 
La soluzione del sistema è tangente al [[campo vettoriale]] <math>\mathbf f</math>, che può essere ad esempio un campo di [[velocità]], ed è l'intersezione di due superfici: esse sono gli integrali primi del sistema di equazioni differenziali. Utilizzando la [[regola della catena]] si mostra che il campo vettoriale <math>\mathbf f</math> è ortogonale al [[gradiente]] della quantità conservata <math>X</math>.
 
==Equazioni del moto con il tempo come funzione==
 
===Spazio===
Se l'equazione del moto di un corpo è del tipo <math>\mathbf r(t)=f(t)</math>, calcolando le sue derivate si può risalire alla velocità <math>\mathbf v(t)=f'(t)</math>, all'accelerazione <math>\mathbf a(t)=f''(t)</math>, allo strappo <math>\mathbf j(t)=f^{(3)}(t)</math>, allo sbalzo <math>\mathbf s(t)=f^{(4)}(t)</math>, al crepitio <math>\mathbf c(t)=f^{(5)}(t)</math> e allo schiocco <math>\boldsymbol\wp(t) = f^{(6)}(t)</math>.
 
===Velocità===
Se la velocità è costante, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto uniforme:
 
:<math>\mathbf r(t)=\int \!\mathbf v \,\mathrm{d}t= \mathbf v t+\mathbf r_0</math>
 
Se la velocità è funzione del tempo, cioè se la velocità è espressa come <math>\mathbf v(t)=f(t)</math>, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto:
 
:<math>\mathbf r(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
 
Calcolando le sue derivate si può risalire all'accelerazione <math>\mathbf a(t)=f'(t)</math>, allo strappo <math>\mathbf j(t)=f''(t)</math>, allo sbalzo <math>\mathbf s(t)=f^{(3)}(t)</math>, al crepitio <math>\mathbf c(t)=f^{(4)}(t)</math> e allo schiocco <math>\boldsymbol\wp(t) = f^{(5)}(t)</math>.
 
===Accelerazione===
Se l'accelerazione è costante, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\int \!\mathbf a \,\mathrm{d}t= \mathbf a t+\mathbf v_0</math>
 
e integrando di nuovo rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto uniformemente accelerato:
 
:<math>\mathbf r(t)=\int \!(\mathbf a t+\mathbf v_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\mathbf a t^2+\mathbf v_0 t+\mathbf r_0</math>
 
Se l'accelerazione è funzione del tempo, cioè se l'accelerazione è espressa come <math>\mathbf a(t)=f(t)</math>, integrandola rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
 
e integrando di nuovo rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto:
 
:<math>\mathbf r(t)=\iint\!f(t) \,\mathrm{d}t^2</math>
 
Calcolando le sue derivate si può risalire allo strappo <math>\mathbf j(t)=f'(t)</math>, allo sbalzo <math>\mathbf s(t)=f''(t)</math>, al crepitio <math>\mathbf c(t)=f^{(3)}(t)</math> e allo schiocco <math>\boldsymbol\wp(t) = f^{(4)}(t)</math>.
 
===Strappo===
Se lo strappo è costante, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione:
 
:<math>\mathbf a(t)=\int \!\mathbf j \,\mathrm{d}t= \mathbf j t+\mathbf a_0</math>
 
integrando di nuovo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\int \!(\mathbf j t+\mathbf a_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\mathbf j t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0</math>
 
e integrando ancora rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto a strappo costante:
 
:<math>\mathbf r(t)=\int \! \left(\frac{1}{2}\mathbf j t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{6}\mathbf j t^3+\frac{1}{2}\mathbf a_0 t^2+\mathbf v_0 t+\mathbf r_0</math>
 
Se lo strappo è funzione del tempo, cioè se lo strappo è espresso come <math>\mathbf j(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione:
 
:<math>\mathbf a(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
 
integrando di nuovo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\iint\!f(t) \,\mathrm{d}t^2</math>
 
e integrando ancora rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto.
 
:<math>\mathbf r(t)=\iiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^3</math>
 
Calcolando le sue derivate si può risalire allo sbalzo <math>\mathbf s(t)=f'(t)</math>, al crepitio <math>\mathbf c(t)=f''(t)</math> e allo schiocco <math>\boldsymbol\wp(t) = f^{(3)}(t)</math>.
 
===Sbalzo===
Se lo sbalzo è costante, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo:
 
:<math>\mathbf j(t)=\int \!\mathbf s \,\mathrm{d}t= \mathbf s t+\mathbf j_0</math>
 
integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione:
 
:<math>\mathbf a(t)=\int \!(\mathbf s t+\mathbf j_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\mathbf s t^2+\mathbf j_0 t+\mathbf a_0</math>
 
integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\int \! \left(\frac{1}{2}\mathbf r t^2+\mathbf j_0 t+\mathbf a_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{6}\mathbf r t^3+\frac{1}{2}\mathbf j_0 t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0</math>
 
e integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto a sbalzo costante:
 
:<math>\mathbf r(t)=\int \! \left(\frac{1}{6}\mathbf s t^3+\frac{1}{2}\mathbf j_0 t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{24}\mathbf s t^4+\frac{1}{6}\mathbf j_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf a_0 t^2+\mathbf v_0 t+\mathbf r_0</math>
 
Se lo sbalzo è funzione del tempo, cioè se lo sbalzo è espresso come <math>\mathbf s(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo:
 
:<math>\mathbf j(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
 
integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione:
 
:<math>\mathbf a(t)=\iint\!f(t) \,\mathrm{d}t^2</math>
 
integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\iiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^3</math>
 
e integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto:
 
:<math>\mathbf r(t)=\iiiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^4</math>
 
Calcolando le sue derivate si può risalire al crepitio <math>\mathbf c(t)=f'(t)</math> e allo schiocco <math>\boldsymbol\wp(t) = f''(t)</math>.
 
===Crepitio===
Se il crepitio è costante, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo sbalzo:
 
:<math>\mathbf s(t)=\int \!\mathbf c \,\mathrm{d}t= \mathbf c t+\mathbf s_0</math>
 
integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo:
 
:<math>\mathbf j(t)=\int \!(\mathbf c t+\mathbf s_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\mathbf c t^2+\mathbf s_0 t+\mathbf j_0</math>
 
integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione:
 
:<math>\mathbf a(t)=\int \! \left(\frac{1}{2}\mathbf c t^2+\mathbf s_0 t+\mathbf j_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{6}\mathbf c t^3+\frac{1}{2}\mathbf s_0 t^2+\mathbf j_0 t+\mathbf a_0</math>
 
integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\int \! \left(\frac{1}{6}\mathbf c t^3+\frac{1}{2}\mathbf s_0 t^2+\mathbf j_0 t+\mathbf a_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{24}\mathbf c t^4+\frac{1}{6}\mathbf s_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf j_0 t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0</math>
 
integrando cinque volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto a crepitio costante.
 
:<math>\mathbf r(t)=\int \! \left(\frac{1}{24}\mathbf c t^4+\frac{1}{6}\mathbf s_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf j_0 t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{120}\mathbf c t^5+\frac{1}{24}\mathbf s_0 t^4+\frac{1}{6}\mathbf j_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf a_0 t^2+\mathbf v_0 t+\mathbf r_0</math>
 
Se il crepitio è funzione del tempo, cioè se il crepitio è espresso come <math>\mathbf c(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo sbalzo:
 
:<math>\mathbf s(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
 
integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo:
 
:<math>\mathbf j(t)=\iint\!f(t) \,\mathrm{d}t^2</math>
 
integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione:
 
:<math>\mathbf a(t)=\iiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^3</math>
 
integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\iiiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^4</math>
 
e integrando cinque volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto:
 
:<math>\mathbf r(t)=\int\!\!\!\iiiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^5</math>
 
Calcolando la sua derivate si può risalire allo schiocco <math>\boldsymbol\wp(t) = f'(t)</math>.
 
=== Schiocco ===
Se lo schiocco è costante, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime il crepitio:
 
:<math>\mathbf c (t)=\int \!\boldsymbol\wp \,\mathrm{d}t= \boldsymbol\wp t+\mathbf c_0</math>
 
integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo sbalzo:
 
:<math>\mathbf s(t)=\int \!(\boldsymbol\wp t+\mathbf c_0 )\,\mathrm{d}t= \frac{1}{2}\boldsymbol\wp t^2+\mathbf c_0 t+\mathbf s_0</math>
 
integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo:
 
:<math>\mathbf j(t)=\int \! \left(\frac{1}{2}\boldsymbol\wp t^2+\mathbf c_0 t+\mathbf s_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{6}\boldsymbol\wp t^3+\frac{1}{2}\mathbf c_0 t^2+\mathbf s_0 t+\mathbf j_0</math>
 
integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione:
 
:<math>\mathbf a(t)=\int \! \left(\frac{1}{6}\boldsymbol\wp t^3+\frac{1}{2}\mathbf c_0 t^2+\mathbf s_0 t+\mathbf j_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{24}\boldsymbol\wp t^4+\frac{1}{6}\mathbf c_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf s_0 t^2+\mathbf j_0 t+\mathbf a_0</math>
 
integrando cinque volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\int \! \left(\frac{1}{24}\boldsymbol\wp t^4+\frac{1}{6}\mathbf c_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf s_0 t^2+\mathbf j_0 t+\mathbf a_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{120}\boldsymbol\wp t^5+\frac{1}{24}\mathbf c_0 t^4+\frac{1}{6}\mathbf s_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf j_0 t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0</math>
 
integrando sei volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto a schiocco costante.
 
:<math>\mathbf r(t)=\int \! \left(\frac{1}{120}\boldsymbol\wp t^5+\frac{1}{24}\mathbf c_0 t^4+\frac{1}{6}\mathbf s_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf j_0 t^2+\mathbf a_0 t+\mathbf v_0 \right)\, \mathrm{d}t=\frac{1}{600}\boldsymbol\wp t^6+\frac{1}{120}\mathbf c_0 t^5+\frac{1}{24}\mathbf s_0 t^4+\frac{1}{6}\mathbf j_0 t^3+\frac{1}{2}\mathbf a_0 t^2+\mathbf v_0 t+\mathbf r_0</math>
 
Se lo schiocco è funzione del tempo, cioè se lo schiocco è espresso come <math>\boldsymbol\wp(t)=f(t)</math>, integrandolo rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime il crepitio:
 
:<math>\mathbf c(t)=\int \!f(t) \,\mathrm{d}t</math>
 
integrando due volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo sbalzo:
 
:<math>\mathbf s(t)=\iint \!f(t) \,\mathrm{d}t^2</math>
 
integrando tre volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime lo strappo:
 
:<math>\mathbf j(t)=\iiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^3</math>
 
integrando quattro volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime l'accelerazione:
 
:<math>\mathbf a(t)=\iiiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^4</math>
 
integrando cinque volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione che esprime la velocità:
 
:<math>\mathbf v(t)=\int\!\!\!\iiiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^5</math>
 
e integrando sei volte rispetto al tempo si ottiene l'equazione del moto:
 
:<math>\mathbf r(t)=\iint\!\!\!\iiiint\!f(t) \,\mathrm{d}t^6</math>
 
Se si considerano le derivate dello spazio rispetto al tempo di grado superiore al sesto, si potranno descrivere moti sempre più complessi.
 
==Esempi==
Utente anonimo