Algebra di Banach: differenze tra le versioni
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Se si sostituisce lo [[spazio di Banach]] con uno [[spazio normato]] la struttura che si ottiene è detta '''algebra normata'''.
Un'algebra di Banach è detta "unitaria" o "con unità" se ha un [[elemento identità]] per l'operazione di moltiplicazione la cui norma è 1, e "commutativa" se la sua moltiplicazione è [[commutativa]].
Le algebre di Banach possono essere definite anche su campi di [[numeri p-adici]]. Ciò dà origine all'[[analisi p-adica]].
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* L'insieme dei numeri reali (o complessi) è un'algebra di Banach con la norma del [[valore assoluto]].
* L'insieme di tutte le [[matrice|matrici]] reali o complesse ''n'' per ''n'' è un'algebra di Banach se si associa loro una norma.
* L'insieme di tutte le [[matrice (matematica)|matrici]] reali o complesse ''n'' x ''n'' diventa un'algebra di Banach
* Si ottiene un'algebra di Banach partendo dallo spazio di Banach '''R'''<sup>''n''</sup> (o '''C'''<sup>''n''</sup>) con norma ||''x''|| = max |''x''<sub>''i''</sub>| e definendo la moltiplicazione componente per componente: (''x''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>)(''y''<sub>1</sub>,...,''y''<sub>''n''</sub>) = (''x''<sub>1</sub>''y''<sub>1</sub>,...,''x''<sub>''n''</sub>''y''<sub>''n''</sub>).
* I [[quaternioni]] formano un'algebra di Banach reale 4-dimensionale, con la norma data dal valore assoluto del quaternione.
* L'algebra di tutte le funzioni limitate (a valori reali o complessi) definite su un qualsiasi insieme (con la moltiplicazione puntuale e la norma dell'[[estremo superiore]]) è un'algebra di Banach
* L'algebra di tutte le funzioni continue limitate a valori reali o complessi su uno [[spazio localmente compatto]] (con l'operazione di moltiplicazione definita puntualmente e la norma dell'estremo superiore) è un'algebra di Banach.
* Ogni [[C*-algebra]] è un'algebra di Banach.
* L'algebra di tutti gli [[operatore lineare|operatori lineari]] continui su uno spazio di Banach E (con la composizione di funzioni come moltiplicazione e l'usuale norma degli operatori come norma) è un'algebra di Banach
* Gli operatori lineari continui su uno [[spazio di Hilbert]] formano una C*-algebra e quindi un'algebra di Banach.
* Se ''G'' è un [[gruppo topologico]] su uno [[spazio di Hausdorff]] [[localmente compatto]] e μ la sua [[misura di Haar]], allora lo spazio di Banach L<sup>1</sup>(''G'') di tutte le funzioni μ-integrabili su ''G'' diventa un'algebra di Banach rispetto alla [[convoluzione]] ''xy''(''g'') = ∫ ''x''(''h'') ''y''(''h''<sup>-1</sup>''g'') dμ(''h'') per ''x'', ''y'' in L<sup>1</sup>(''G'').
== Proprietà ==
Molte [[funzioni elementari]] che sono definite attraverso [[serie di potenze]] possono essere definite in ogni algebra di Banach
L'insieme degli [[elementi invertibili]] in ogni algebra di Banach
Le algebre di Banach
Le varie algebre di funzioni considerate negli esempi precedenti hanno proprietà molto diverse dagli esempi standard di algebre come quella formata dai reali. Ad esempio:
* Ogni algebra di Banach reale che è un'[[algebra con divisione]] è isomorfa ai reali, ai complessi, o ai quaternioni. Ne segue che la sola algebra di Banach complessa che è un'algebra con divisione è l'algebra dei complessi.
* Ogni algebra di Banach reale
* Ogni algebra di Banach reale commutativa [[anello noetheriano|noetheriana]] senza divisori dello zero è isomorfa ai reali o ai complessi.
* Ogni algebra di Banach reale commutativa noetheriana
==Voci correlate==
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