Velocità areolare: differenze tra le versioni
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In [[cinematica]], la '''velocità areolare''' è una [[grandezza vettoriale]] definita come la variazione di una superficie in funzione del [[tempo]], rientrando, pertanto, nel concetto generale di [[velocità]], ovvero di variazione di una [[Coordinate generalizzate|coordinata spaziale]] nel tempo. In altri termini essa rappresenta la velocità con cui una [[superficie]] viene spazzata dal raggio vettore di un punto che si muove lungo una curva.
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: <math>\dot\mathbf A = \lim_{t_2 \to t_1}\frac{\mathbf A(t_2) - \mathbf A(t_1)}{t_2-t_1} = \lim_{\Delta t \to 0 } \frac {\mathbf A(t + \Delta t) - \mathbf A(t)}{\Delta t} = \frac {\mathrm d\mathbf A}{\mathrm d t}</math>
▲<br />[[File:ArealVelocity with curved area.svg|thumb|311x311px|La velocità areolare è l'area (mostrata in verde) spazzata per unità di tempo dal vettore posizione di una particella che si muova lungo una curva (in blu). Al tempo <math>t</math> una particella mobile si trova posta in <math>B</math>, mentre al tempo <math>t+\Delta t</math> la particella si è spostata in <math>C</math>. L'area spazzata dal raggio vettore è esattamente uguale all'area del triangolo <math>\overset{\triangle}{ABC}</math> per <math>\Delta t\rightarrow0</math>. I vettori <math>AB</math> e <math>AC</math> si sommano con la regola del parallelogramma nel vettore <math>AD</math>, cosicché il punto <math>D</math> risulta il quarto angolo del parallelogramma <math>ABCD</math> indicato nella figura.]]Come mostrato in figura, l'area del triangolo in giallo '''<math>\overset{\triangle}{ABC}</math>''' è metà dell'area del parallelogramma '''<math>ABCD</math>''', e l'area del parallelogramma è uguale alla grandezza del prodotto esterno dei vettori <math>AB</math> e <math>AC</math>, cosicché:
:<math>\mathbf{A}_{(ABCD)}=\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t+\Delta t)\ \Longrightarrow\ \mathbf{A}_{(ABC)}=\frac{\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t+\Delta t)}{2}</math>
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Ma <math>\dot\mathbf{r}(t)</math> è la [[Velocità|velocità lineare]] del vettore <math>\mathbf v(t)</math>, per cui: <math>\dot\mathbf{A}=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{2}</math>.
==Legame con il momento angolare e il momento meccanico==
{{Vedi anche|Momento angolare|Momento meccanico}}
Sapendo che il momento angolare <math>\mathbf{L}</math> rappresenta il momento della [[quantità di moto]] <math>\mathbf{p}</math> e che <math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_r + \mathbf{v}_0</math>, è possibile ricavare la sua relazione con la velocità areolare:
:<math>\mathbf L = \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m
Derivando il momento angolare si ottiene la seconda equazione cardinale della dinamica, che nel caso di un corpo rigido rotante risulta pari a:
:<math> \frac{\mathrm d\mathbf L}{\mathrm dt} = \mathbf M - \boldsymbol\omega \times \mathbf L \iff \mathbf M = \frac{\mathrm d\mathbf L}{\mathrm dt} + \boldsymbol\omega \times \mathbf L</math>
dove <math>\boldsymbol\omega</math> è il vettore velocità angolare. Se nel sistema in esame la [[Massa (fisica)|massa]] è costante, sostituendo il valore ricavato in precedenza, si ottiene il valore del momento meccanico:
:<math>\mathbf{M}= 2\cancel{\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}}\dot\mathbf A + 2m\ddot\mathbf A + \boldsymbol\omega \times 2m\dot\mathbf A = 2m(\ddot\mathbf A + \boldsymbol\omega \times \dot\mathbf A)</math>
dove <math>\boldsymbol\alpha</math><math>\boldsymbol\alpha</math><math>\ddot\mathbf A</math> è l'[[accelerazione areolare]]. Pertanto, se nel sistema in esame <math>\mathbf L</math> risulta parallelo a <math>\boldsymbol\omega</math>, si ha che il momento meccanico è:
Inoltre, l'[[energia cinetica]] rotazionale vale:▼
:<math>E_k = \frac{1}{2}\mathbf{L}\cdot\boldsymbol{\omega}=m\dot\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\omega}</math>▼
== Accelerazione areolare ==
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: <math>\ddot\mathbf{A}=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{a}}{2}</math>
che è l'espressione dell'accelerazione areolare. Nel SI si misura in <math>\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}</math>.
▲:<math>\mathbf L=\mathbf{r}\times\mathbf{p}= \mathbf{r}\times m(\mathbf{v}_r+ \mathbf{v})=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=2m\dot\mathbf{A}</math>
▲:<math>\mathbf{M}= \dot\mathbf{L}= 2m\ddot\mathbf{A}</math>
▲Inoltre, l'[[energia cinetica]] vale:
▲:<math>E_k = \frac{1}{2}\mathbf{L}\cdot\boldsymbol{\omega}=m\dot\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\omega}</math>
== Moto centrale ==
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