Velocità angolare: differenze tra le versioni
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==Descrizione==
Dato un oggetto in moto, il cui vettore posizione è detto ''raggio vettore'' <math>\mathbf r</math>, la velocità angolare dipende dal punto di riferimento, ovvero l'origine del [[sistema di coordinate]] del raggio vettore, che risulta funzione del tempo.
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:<math>\boldsymbol\omega = \dot\boldsymbol\theta = \lim_{t_2 \to t_1}\frac{\boldsymbol\theta(t_2)-\boldsymbol\theta(t_1)}{t_2-t_1} = \lim_{\Delta t \to 0 } \frac {\boldsymbol\theta (t + \Delta t) - \boldsymbol\theta (t)}{\Delta t} = \frac {\mathrm d \boldsymbol\theta}{\mathrm d t}</math>
Come direzione si sceglie quella dell'asse di rotazione, ovvero quella normale al piano di rotazione, mentre il verso è diretto verso l'osservatore che vede una rotazione antioraria.[[File:Angular velocity.svg|thumb|Il vettore velocità angolare([[Regola della mano destra|convenzione destrorsa]]).]]In base a ciò la velocità tangenziale <math>\mathbf v_\theta</math>di un punto descrivente una traiettoria circolare di raggio di modulo <math>\mathbf r</math> con velocità angolare di modulo <math>\boldsymbol\omega</math> è:
:<math>\mathbf v_\theta = \boldsymbol\omega \times \mathbf r</math>
Tale formula in realtà è valida solo per moti rigidi sferici. Lo si dimostra tenendo presente che la determinazione rigorosa della velocità di un punto è data dalla derivata temporale del vettore che ne identifica le coordinate, in un sistema di riferimento fisso, altrimenti si parla di velocità relativa.
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avendo indicato con <math>\hat\mathbf n</math> il [[versore]] perpendicolare al piano dell'orbita. Poiché, nell'arco di tempo <math>T</math>, che nel [[moto circolare uniforme]] è il [[periodo (fisica)|periodo]], l'angolo descritto dal raggio è proprio <math>2\pi</math> [[radiante|radianti]], ovvero un [[angolo giro]]. La grandezza scalare <math>f</math> è l'inverso di <math>T</math>, ed è chiamata [[frequenza]]. In questo contesto, <math>\boldsymbol\omega</math> prende anche il nome di ''pulsazione''.
==Legame con il momento angolare e il momento meccanico==
{{Vedi anche|Momento angolare|Momento meccanico}}
Nel caso di un corpo rigido rotante, il momento della [[quantità di moto]] <math>\mathbf{p}</math>, ovvero il momento angolare è proporzionale alla velocità angolare:
:<math>\mathbf L = \underline\underline\mathbf I \cdot \boldsymbol\omega</math>
Sotto le medesime ipotesi, derivando il momento angolare si ottiene la seconda equazione cardinale della dinamica, che risulta pari a:
:<math> \frac{\mathrm d\mathbf L}{\mathrm dt} = \mathbf M - \boldsymbol\omega \times \mathbf L \iff \mathbf M = \frac{\mathrm d\mathbf L}{\mathrm dt} + \boldsymbol\omega \times \mathbf L</math>
Sostituendo il valore ricavato in precedenza, si ottiene il valore del momento meccanico:
:<math>\mathbf{M} = \cancel{\frac{\mathrm d\underline\underline\mathbf I}{\mathrm dt}} \cdot \boldsymbol\omega + \underline\underline\mathbf I \cdot \frac{\mathrm d\boldsymbol\omega}{\mathrm dt} + \boldsymbol\omega \times \left(\underline\underline\mathbf I \cdot \boldsymbol\omega\right)
= \underline\underline\mathbf I \cdot \boldsymbol\alpha + \boldsymbol\omega \times \left(\underline\underline\mathbf I \cdot \boldsymbol\omega\right)</math>
dove <math>\boldsymbol\alpha</math> è l'[[accelerazione angolare]]. Pertanto, se nel sistema in esame <math>\mathbf L</math> risulta parallelo a <math>\boldsymbol\omega</math>, si ha che il momento meccanico è:
:<math>\mathbf{M} = \underline\underline\mathbf I \cdot \boldsymbol\alpha</math>
Inoltre, l'[[energia cinetica]] rotazionale vale:
:<math>E_k = \frac{1}{2}\mathbf{L}\cdot\boldsymbol{\omega}</math>
== Applicazioni ==
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