Rigidezza: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua|altri significati di rigidezza|Rigidità}}LaIn [[meccanica dei materiali]], la '''rigidezza''' è la capacità che ha un corpo di opporsi alla [[deformazione elastica]] provocata da una forza applicata. InIl generalesuo si dovrebbe usare il termine ''rigidezza'' quando si parla di una struttura, di ''rigidità'' quando si parla di un [[materiale]]. L'inverso della rigidezza è ladetto '''cedevolezza'''. Nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema Internazionale]], la rigidezza si misura in [[newton (unità di misura)|newton]] su [[metro|metri]].
 
== Caratteristiche ==
La rigidezza è determinata da:
*''[[Materiale]]'', proprietà estensiva del materiale e cioè dipende dalla quantità di materiale e dal materiale stesso.
*''[[Figura (geometria)|Forma]]'', la forma della struttura riesce a conferire una diversa rigidezza a parità di materiale, come nel caso di un tubo ovale o rotondo.
*''[[Vincolo|Vincoli]]'', a parità di forma e materiale si ha una maggiore rigidezza di un palo vincolato ai due estremi, piuttosto che a un estremo solo.<ref>[http://www.solidworld.it/public/prodotti/pdf/36.pdf analisi agli elementi finiti] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130305151109/http://www.solidworld.it/public/prodotti/pdf/36.pdf |data=5 marzo 2013 }}</ref>
 
== Rigidezza longitudinaleDefinizione ==
Il concetto di rigidezza deriva dalla [[teoria dell'elasticità]], la cui equazione più comunemente utilizzata è la [[legge di Hooke]]. Nel metodo agli [[elementi finiti]] e nell'analisi dei sistemi elastici a più gradi di libertà la legge di Hooke viene formulata in termini tensoriali, permettendo l'estensione della legge costitutiva a tutti i possibili [[Grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]]. Nel caso della formulazione più generale possibile, si ha che la rigidezza è quantificata dal ''tensore di elasticità'' <math>\mathbf D_{ijkl}</math> e la cedevolezza dal ''tensore di cedevolezza'' <math>\mathbf A_{ijkl}</math>:
La rigidezza <math>k_E</math>, e di conseguenza la cedevolezza <math>k_C</math>, di un corpo che si deforma a distanza <math>\delta</math> sotto una forza applicata <math>F</math> sono definite dalle relazioni
 
:<math>k_E=\fracsigma_{Fij} = \mathbf D_{ijkl}\delta,\varepsilon_{kl} \iffqquad k_C=\fracvarepsilon_{ij} = \deltamathbf A_{ijkl}\,\sigma_{Fkl} </math>
 
Poiché sia lainoltre, forzasi applicataha che lo spostamento sono tensori, in generale le relazioni sono caratterizzate da un l''tensore<nowiki/>'energia di rigidezzadeformazione'' '''''<math>k_E\omega</math>''''' e da un l''tensore di'energia cedevolezzacomplementare'' <math>k_C\gamma</math> sono pari a:
 
:<math>
:<math>\underline{F}=\underline{\underline{k_E}}\ \underline{\delta}\iff\underline{\delta}=\underline{\underline{k_C}}\ \underline{F}</math>
\omega = \frac{1}{2}\mathbf D_{ijkl}\,\varepsilon_{ij}\,\varepsilon_{kl} \qquad \gamma = \frac{1}{2}\mathbf A_{ijkl}\,\sigma_{ij}\,\sigma_{kl}
</math>
 
dove <math>\sigma_{ij}</math> è la [[Tensione interna|tensione]] <math> \varepsilon_{ij}</math> e la [[deformazione]]. I tensori di elasticità e cedevolezza sono tensori del quarto ordine, pertanto hanno 81 coefficienti, di cui 36 sono indipendenti. Se il materiale in esame è [[iperelastico]], i coefficienti indipendenti si riducono a 21 e, nel caso in cui sia anche [[Omogeneità (fisica)|omogeneo]] e [[Isotropia|isotropo]] essi saranno soltanto due.
Lo spostamento può, in generale, riferirsi ad un punto distinto da quello di applicazione della forza, ed una struttura complicata non si deformerà solamente nella stessa direzione della direzione di applicazione della forza. Attraverso il tensore di rigidezza si può caratterizzare la rigidezza delle struttura in tutte le direzioni.
 
Facendo uso della [[notazione di Voigt]], i tensori di elasticità e cedevolezza vengono rappresentati da [[matrice simmetrica|matrici simmetriche]] [[Matrice definita positiva|semidefinite positive]]:
== Rigidezza rotazionale ==
Un corpo elastico può subire anche deformazioni angolari, ed opponendo resistenza a tali deformazioni, si può misurare la relativa rigidezza <math>k_\theta</math>, e la relativa cedevolezza <math>k_\gamma</math>, per una rotazione <math>\theta</math>, sotto un momento applicato <math>M</math>'':''
 
:<math>\begin{align}
:<math>k_\theta=\frac{M}{\theta}\iff k_\gamma=\frac{\theta}{M} </math>
& \sigma_i = \mathbf d_{ij}\,\varepsilon_j\\
& \varepsilon_i = \mathbf a_{ij}\,\sigma_j\\
\end{align}\implies
\begin{align}
& \omega = \frac{1}{2}\mathbf d_{ij}\,\varepsilon_i\varepsilon_j\\
& \gamma = \frac{1}{2}\mathbf a_{ij}\,\sigma_i\sigma_j\\
\end{align}</math>
 
=== Rigidezza longitudinale ===
Nel Sistema Internazionale, la rigidezza rotazionale si misura in [[newton (unità di misura)|newton]]-[[metro|metri]] su [[radiante|radianti]], mentre la cedevolezza rotazionale si misura in radianti su newton-metri.
Nel caso monodimensionale, la formulazione tradizionale della relazione che esprime una sollecitazione longitudinale lungo un asse <math>\hat x</math> è:
 
: <math>\mathbf F = -k_E \Delta l \cdot \hat\mathbf{x}</math>
Anche l'equazione della rigidezza rotazionale può essere espressa in termini tensoriali:
 
pertanto, in questo caso, la rigidezza di un corpo che subisce un allungamento <math>\Delta l</math> causato da una [[forza]] applicata <math>\mathbf F</math> è rappresentata dalla ''costante elastica longitudinale'' <math>k_E</math>, di conseguenza la cedevolezza verrà espressa dalla ''costante di cedevolezza longitudinale'' <math>k_C = k^{-1}_E</math>. Nel [[Sistema internazionale di unità di misura|Sistema Internazionale]], la costante plastica longitudinale si misura in N·m<sup>-1</sup> ''([[newton (unità di misura)|newton]] su [[metro]])'', mentre la costante plastica longitudinale si misura in m·N<sup>-1</sup> (''metro su newton'').
:<math>\underline{M}=\underline{\underline{k_\theta}}\underline{\theta}\iff \underline{\theta}=\underline{\underline{k_\gamma}}\underline{M} </math>
 
Per esprimere la sollecitazione longitudinale, la formulazione odierna del caso monodimensionale si serve del ''coefficiente di dilatazione lineare'' <math>\varepsilon</math>:
Ulteriori misure di rigidezza sono ricavate per analogia, come:
 
: <math>\sigma= E\varepsilon</math>
* rigidezza a taglio - rapporto fra deformazione di taglio per unità di forza applicata
* rigidezza torsionale - rapporto fra il momento di torsione applicato e l'angolo di rotazione
 
dove la rigidezza è rappresentata dal [[Modulo di elasticità|modulo di elasticità longitudinale]] di [[Thomas Young|Young]] <math>E</math>, mentre la cedevolezza sarà espressa dal modulo di plasticità longitudinale <math>C = E^{-1}</math>.
== Relazione con l'elasticità ==
In generale, nonostante la forte correlazione, modulo elastico e modulo plastico non sono rispettivamente sinonimi di rigidezza e cedevolezza, poiché i primi sono proprietà costitutive del materiale, le seconde invece sono proprietà relative al corpo elastico. Ovvero, i moduli dipendono soltanto dal materiale, rigidezza e cedevolezza dipendono dal corpo e dalle condizioni di vincolo.
 
=== Rigidezza rotazionale ===
Ad esempio, per un corpo sottoposto ad una forza assiale, la rigidezza assiale si ricava tramite la relazione:
In modo del tutto analogo, nel caso monodimensionale, la formulazione tradizionale della relazione che esprime una sollecitazione tangenziale, a un piano a cui un asse <math>\hat z</math> è ortogonale, è:
 
: <math>k_E\mathbf M = -k_\fractheta \Delta \alpha \cdot \hat\mathbf{Az}{L}E </math>
 
pertanto, in questo caso, la rigidezza di un corpo che subisce una variazione angolare <math>\Delta\alpha</math> causato da una [[Momento meccanico|momento]] applicata <math>\mathbf M</math> è rappresentata dalla ''costante elastica tangenziale'' <math>k_\theta</math>, di conseguenza la cedevolezza verrà espressa dalla ''costante di cedevolezza tangenziale'' <math>k_\gamma = k^{-1}_\theta</math>. Nel Sistema Internazionale, la costante elastica tangenziale si misura in N·m ''(newton per metro)'', mentre la costante plastica tangenziale si misura in (N·m)<sup>-1</sup> (''uno su newton per metro'').
dove <math>A </math> è l'area della sezione resistente, <math>E </math> è il [[modulo di Young|modulo di elasticità longitudinale di Young]], ed <math>L </math> è la lunghezza del corpo.
 
Per esprimere la sollecitazione tangenziale, la formulazione odierna del caso monodimensionale si serve del coefficiente di scorrimento angolare <math>\gamma</math>:
Invece, per un corpo sottoposto ad un taglio, la corrispondente rigidezza si ricava dalla relazione:
 
: <math>k_\theta=\frac{M}{\tau}G = G\gamma</math>
 
dove <math>Gla </math>rigidezza è ilrappresentata dal [[modulo di elasticità tangenziale e]] <math>\tau G</math>, lomentre sforzola cedevolezza sarà espressa dal modulo di taglioplasticità tangenziale <math>G^{-1}</math>.
 
=== Relazione contra costanti e moduli di l'elasticità ===
:
La costanti e i moduli di elasticità, usate entrambe per esprimere la rigidezza, sono strettamente legate tra loro. Dalle relazioni precedenti si può dedurre che <math>k_E = E\frac{S}{l_i}</math> e che <math>k_\theta = GSb</math>, dove <math>S</math> è la sezione, <math>l_i</math> è la dimensione longitudinale e <math>b</math> è il [[Braccio (fisica)|braccio]] della forza che causa il momento. Tuttavia esiste una profonda differenza tra le due categorie di grandezze; infatti, i moduli di elasticità sono proprietà costitutive del materiale, invece le costanti elastiche sono proprietà relative al corpo elastico. Ovvero, i moduli di elasticità dipendono soltanto dal materiale, mentre le costanti elastiche dipendono dal corpo e dalle condizioni di vincolo.
== Applicazioni ingegneristiche ==
 
=== Ingegneria ===
== Applicazioni ingegneristiche ==
In generale si dovrebbe usare il termine ''rigidezza'' quando si parla di un materiale, di ''rigidità'' quando si parla di una struttura. La rigidità di una struttura è di fondamentale importanza in molte [[Ingegneria|applicazioni ingegneristiche]], infatti essa rappresenta un parametro di scelta fondamentale del materiale. Un alto rigidità si ricerca quando si vogliono basse deformazioni, un bassa rigidità quando è richiesta flessibilità. Lo spostamento può, in generale, riferirsi ad un punto distinto da quello di applicazione della forza, ed una struttura complicata non si deformerà solamente nella stessa direzione della direzione di applicazione della forza. Attraverso il tensore di rigidezza si può caratterizzare la rigidezza delle struttura in tutte le direzioni. Per un semplice sistema di punti collegati da molle, la matrice di rigidezza descrive la [[Grafo connesso|connettività]] tra i gradi di libertà del sistema stesso. Un semplice esempio è la [[Calcolo telai piani col metodo delle rigidezze#Calcolo matrice di rigidezza locale singola trave|matrice di rigidezza di una trave]]. Le stesse grandezze usate per esprimere la rigidezza rotazionale, vengono usate per esprimere anche la rigidezza al taglio, il rapporto fra deformazione di taglio per unità di forza applicata, e la rigidezza torsionale, ovvero il rapporto fra il momento di torsione applicato e l'angolo di rotazione.
La rigidezza di una struttura è di principale importanza in molte applicazioni ingegneristiche, così come il modulo di elasticità, dal quale la rigidezza dipende, è un parametro di scelta fondamentale del materiale. Un alto modulo di elasticità si ricerca quando si vogliono basse deformazioni, un modulo basso quando si richiede flessibilità.
 
=== In fisiologiaFisiologia ===
In campo fisiologico[[fisiologia]], con il termine rigidezza (in [[Lingua inglese|inglese]] ''stiffness'') si indica la forza,resistenza la resistenzameccanica, la densità e la rigidità strutturale dei [[tendini]] e delle strutture di [[tessuto connettivo]] del [[muscolo]]. Sostanzialmente, maggiore è la ''stiffness''rigidezza di questi tessuti, maggiore è l'energia che può essere immagazzinata durante un movimento eccentrico, per essere poi restituita e liberata durante la fase concentrica.
 
== Note ==
*{{cita web | 1 = http://www.pcm.unifi.it/PCM/Corsicitti/lezione%203-rigidezza.pdf | 2 = Università degli Studi di Firenze Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno Accademico 2004/05 La rigidezza | accesso = 22 febbraio 2011 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20051230055621/http://www.pcm.unifi.it/PCM/Corsicitti/lezione%203-rigidezza.pdf | dataarchivio = 30 dicembre 2005 | urlmorto = sì }}
 
{{Portale|ingegneria|meccanica|ingegneria}}
[[Categoria:Elasticità (meccanica)]]
 
[[Categoria:Meccanica]]