Wikipedia:Oracolo: differenze tra le versioni

:::(conflittato) Tu avevi chiesto ''quale è il campo vettoriale della massa e il suo duale da cui discende il differenziale dm?'' Provo a rispondere a questa domanda. In molti contesti della Fisica la massa è una costante, e il suo differenziale non compare generalmente nelle formule; facciamo dapprima un esempio più frequente, sempre di una quantità scalare: il tempo. Il differenziale <math>dt</math> compare in tantissime formule, giusto? L'idea è semplicemente questa: il tempo è una variabile che compare come argomento di molte funzioni. Quelle stesse funzioni, però, possono dipendere anche da altre variabili, ad esempio dalle coordinate <math>(x, y, z)</math> dello spazio tridimensionale. Ora, che cosa sia il differenziale di una funzione <math>f</math> l'hai scritto tu stesso: è quell'operatore che a ciascun vettore associa la [[derivata direzionale]] di <math>f</math> rispetto a quel vettore. In questo senso, come operatore lineare sui vettori, è un elemento dello spazio duale. Consideriamo ora la particolare funzione <math>x</math>: pensala, ad esempio, come la funzione che alla terna <math>(x, y, z)</math> assegna il valore <math>x</math>. Prendi un qualunque vettore <math>\vec{v}</math> che rappresenta uno spostamento in <math>R^3</math>, e calcola il valore del differenziale <math>dx</math> su quel vettore: questo valore non è altro che la prima componente del vettore, <math>v_x</math>. Fin qui ci siamo? Bene, lo stesso vale anche per <math>t</math>: se consideri funzioni solo del tempo, allora lo spazio su ci sono definite è unidimensionale; qualunque vettore su quello spazio rappresenta uno spostamento nel tempo, e il differenziale <math>dt</math> restituisce l'unica componente di quel vettore. Se invece consideri una funzione che varia nello spazio e nel tempo, <math>f(t,x,y,z)</math>, questa è definita su uno spazio di dimensione quattro; un generico "spostamento" in quello spazio è rappresentato da un vettore con quattro componenti, e applicando il differenziale <math>dt</math> si ottiene la componente temporale di tale vettore. Quindi il differenziale di <math>f</math> sarà <math>df=\frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz</math>. Quando fai la derivata direzionale di <math>f</math> rispetto a uno spostamento nello spazio-tempo, rappresentato da un vettore con quattro componenti, <math>\vec{v}=(v_t,v_x,v_y,v_z)</math>, ognuno dei quattro differenziali <math>dt</math>, <math>dx</math>, <math>dy</math> e <math>dz</math> fa il proprio mestiere, e il risultato è <math>D_{\vec{v}}f=\frac{\partial f}{\partial t}v_t + \frac{\partial f}{\partial x}v_x + \frac{\partial f}{\partial y}v_y + \frac{\partial f}{\partial z}v_z</math>.

:::Non è che c'è bisogno di pensare a <math>dt</math> come a un "frammento infinitesimo di tempo". [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibnitz]] lo pensava così, effettivamente, ma dopo tre secoli la maggior parte dei matematici si è convinta che convenga definirlo in un altro modo (però una parte dei fisici e la stragrande maggioranza degli ingegneri non se ne sono ancora accorti). Quindi non c'è alcun "campo vettoriale della massa". Quando consideri la massa come una funzione (scalare), il suo differenziale ti dice quale sarà la variazione della massa a seconda della ''variazione delle quantità di cui dovrebbe essere funzione'': è lo spostamento nello spazio delle ''variabili indipendenti'' quello che è rappresentato da un vettore, non la variazione risultante della massa. --[[Speciale:Contributi/130.192.193.197|130.192.193.197]] ([[User talk:130.192.193.197|msg]]) 19:54, 4 nov 2019 (CET)

 

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