Potenziali ritardati: differenze tra le versioni

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In [[elettrodinamica]], ili [[potenziale'''potenziali elettrico]]ritardati''' edescrivono i potenziali generalizzati del [[potenzialecampo magneticoelettromagnetico]] in generale non si propagano in modo istantaneo per un sistema la cui distribuzione di carica e corrente sorgente del campo èsia variabile nel tempo. LeSi '''equazionitratta didelle ritardo'''espressioni deidel potenziali[[potenziale sonoelettrico]] rappresentatee dalle[[potenziale duemagnetico|magnetico]] introdotte nel caso in cui non sia possibile utilizzare l'approssimazione secondo cui la propagazione dell'[[equazioniinterazione integralielettromagnetica]]: sia istantanea, ad esempio quando si considerano cariche che si muovono a velocità non trascurabili se confrontate con la velocità di propagazione della luce.
 
:<math> \psi (\mathbf x, t)= \frac {1}{4\pi \varepsilon_0} \int \frac {\rho (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0|} d^3 x_0</math>
 
:<math>\mathbf A (\mathbf x, t) =\frac {1}{4 \pi \varepsilon_0 c^2} \int \frac {\mathbf J (\mathbf x_0, t_r)} {|\mathbf x - \mathbf x_0| } d^3 x_0 </math>
 
Queste equazioni ad esempio trovano impiego quando si considerano cariche che si muovono a velocità non trascurabili se confrontate con la velocità di propagazione della luce: è il caso del [[potenziale di Liénard-Wiechert]].
 
Insieme alle equazioni che legano i campi ai potenziali, le equazioni di ritardo sono perfettamente equivalenti alle [[equazioni di Maxwell]], di cui costituiscono anzi un'astrazione matematicamente più elegante.
Una ulteriore generalizzazione più elegante è data dal [[potenziale elettromagnetico]].
 
==Definizione==
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è il tempo ritardato.
 
I potenziali ritardati sono descrittila da due particolarisoluzione dell'[[equazione delle onde|equazioni]] delleper onde]]i potenziali:
== Derivazione ==
I potenziali ritardati sono descritti da due particolari [[equazione delle onde|equazioni delle onde]]:
 
:<math>\Box \psi = -\frac{\rho }{\varepsilon _0}</math>
 
:<math>\Box A = -\mu _0\mathbf J</math>
 
in cui il quadrato è il [[d'Alembertiano]], in cui la [[velocità di propagazione]] corrisponde alla [[velocità della luce]]. Le equazioni quindi si esplicitano in:
 
:<math>\quad\nabla^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\varepsilon _0}</math>
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:<math>\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J</math>
 
Una volta determinati i potenziali <math>\psi</math> e <math>\mathbf A</math> dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le definizioni dei campi a partire dai potenzialiformule:
Queste due equazioni insieme alle definizioni dei campi a partire dai potenziali sono perfettamente equivalenti alle [[equazioni di Maxwell]].
Una volta determinati i potenziali <math>\psi</math> e <math>\mathbf A</math> dalla distribuzione delle cariche e delle correnti nello spazio, è possibile esprimere il campo elettrico ed il campo magnetico attraverso le definizioni dei campi a partire dai potenziali:
 
:<math>\mathbf{E}=-\nabla \psi-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \qquad \mathbf{B}=\nabla\times \mathbf{A}</math>
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La scrittura esplicita dei campi è fornita dalle [[equazioni di Jefimenko]].
 
== Derivazione ==
== Deduzione euristica ==
{{vedi anche|Equazione delle onde}}
Si vogliono trovare le soluzioni generali dell'equazione delle onde per i potenziali mostrata in precedenza, considerando l'equazione per una sorgente puntiforme posta in <math> \mathbf x_0 </math>:<ref>{{Cita|Landau, Lifshits|Pag. 213|Landau}}.</ref>
 
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ovvero le espressioni cercate.
 
==L'equazione delle onde ed il gauge di Lorenz==
== Gauge ==
{{vedi anche|Gauge di Lorenz}}
Sostituendo la definizione del potenziale vettore <math> \mathbf A</math> nella seconda [[equazioni di Maxwell|equazione di Maxwell]] si ottiene:
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* [[Potenziale magnetico]]
* [[Potenziale di Liénard-Wiechert]]
* [[Quadripotenziale]]
* [[Potenziale elettromagnetico]]
 
{{Portale|elettromagnetismofisica}}
 
[[Categoria:Elettrodinamica]]