Logaritmo naturale: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}
[[File:Log.svg|thumb|right|Grafico di ''y''=''ln(x)'']]
Il '''logaritmo naturale''' (o ''logaritmo neperiano'') è il [[logaritmo]] in base ''[[e (costante matematica)|e]]'', dove <math>e</math> è uguale a <math>2{,}71828\ldots</math> Il logaritmo naturale è definito per tutte le <math>x</math> [[numeri reali|reali]] e positive, ma anche per i [[numeri complessi]] diversi da zero<ref>{{Cita libro|titolo=Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra|cognome=Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi|editore=Ghisetti e Corvi, 1995|isbn=88-80-13173-7}} p.402</ref>.
 
== Definizione ==
* In [[matematica]] si è soliti utilizzare la scrittura "log(x)" per intendere log<sub>e</sub>(x); altrimenti si è soliti specificare la base nella scrittura (es. log<sub>10</sub>(x) è il logaritmo in base <math>10</math> di <math>x</math>).<ref>{{Cita libro | autore=Walter Rudin | titolo=Principi di analisi matematica | editore=McGraw-Hill Libri Italia | anno=1953 | p=60 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore1=Paolo Marcellini | autore2=Carlo Sbordone | titolo=Elementi di analisi matematica uno | editore=Liguori | anno=2002 | p=33 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore1=Carlo Pagani | autore2=Sandro Salsa | titolo=Analisi, vol. I | editore=Masson | anno=1995 | p=192 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore= Nicolas Bourbaki | titolo= Elements of Mathematics. Functions of a real variable | editore=Springer | anno=2004 | p=92 }}</ref><ref>{{Cita libro | autore=A. W. Knapp | titolo=Basic Real Analysis | editore=Birkhauser | anno=2005 | p=40 }}</ref>
* In [[ingegneria]], [[biologia]] e altre scienze generalmente si scrive "ln(x)" o (raramente) "log<sub>e</sub>(x)" per intendere il logaritmo naturale di <math>x</math>, mentre si scrive "log(x)" per intendere log<sub>10</sub>(x).
* In alcuni testi della fine del XX secolo, il logaritmo in base 10 veniva scritto con l'iniziale maiuscola e sottintendendo la base: <math>Log</math><ref>{{Cita libro|titolo=Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra|cognome=Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi|editore=Ghisetti e Corvi, 1995|isbn=88-80-13173-7}} p.402</ref>.
* Nei più comuni [[linguaggio di programmazione|linguaggi di programmazione]], tra cui [[C (linguaggio)|C]], [[C++]], [[Fortran]], e [[BASIC]], "log" o "LOG" sottintendono il logaritmo naturale.
* Nelle [[calcolatrice|calcolatrici]] il logaritmo naturale è "ln", mentre "log" è il logaritmo in base <math>10</math>.
In altre parole, la funzione logaritmo è la [[corrispondenza biunivoca]] dall'insieme di numeri reali positivi all'insieme di tutti i numeri reali. Nello specifico, è un [[isomorfismo]] da un [[gruppo (matematica)|gruppo]] di numeri reali positivi sotto moltiplicazione al gruppo dei numeri reali sotto addizione.
 
I logaritmi possono essere definiti per una qualsiasi base reale strettamente positiva e diversa da <math>1</math>, non solo <math>e</math>, inoltre possono essere utili nella risoluzione di equazioni in cui l'incognita appare all'esponente di una qualsiasi quantità.
 
== Derivata ==
La [[derivata]] della funzione logaritmo naturale è data da:<ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} p.V12</ref>
 
:<math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}</math>
== Serie comuni ==
 
La [[serie di Taylor]] centrata in <math>1</math> del logaritmo naturale è<ref>{{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|cognome=Maderna C. e Soardi P.M.|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4}} p.239</ref>:
 
:<math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \text{ per } -1<x\le1 </math>
 
== Integrali e regole di integrazione ==
L'integrale della funzione logaritmo naturale si risolve [[Integrazione per parti|per parti]]<ref>{{Cita libro|titolo=Lineamenti.Math Blu-Volume 5|cognome=Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni|editore=>Ghisetti e Corvi, 2012|isbn=978-88-538-0433-4}} p.562</ref>:
:<math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.</math>
 
:<math>\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.</math>
 
Cioè<ref>{{Cita libro|titolo=Lineamenti.Math Blu-Volume 5|cognome=Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni|editore=>Ghisetti e Corvi, 2012|isbn=978-88-538-0433-4}} p.533</ref>
Cioè
 
:<math>\int { dx \over x} = \ln|x| + C,</math>
 
e<ref>{{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}} p.W9</ref>
e
 
:<math>\int { {f^'(x) \over f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.</math>
 
=== Esempi ===
SeCon <math>g(x)</math>quest'ultima regola, è lapossibile calcolare gli integrali della [[tangenteTangente (matematica)|tangente]] die <math>x</math>,della [[cotangente]] sfruttando le loro alloradefinizioni:
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx</math>
:<math>\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.</math>
* [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]] (2002): ''Elementi di analisi matematica uno'', Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-3383-8
* [[Walter Rudin]] (1953): ''Principi di analisi matematica'', McGraw-Hill Libri Italia, ISBN 88-386-0647-1
* {{Cita libro|titolo=Lezioni di Analisi Matematica|cognome=Carla Maderna e Paolo Maurizio Soardi|editore=CittàStudi Edizioni - Milano, 1995|isbn=88-251-7090-4}}
* {{Cita libro|titolo=Corso Base Blu di Matematica-Volume 5|cognome=Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi|editore=Zanichelli, 2009|isbn=978-88-08-03933-0}}
* {{Cita libro|titolo=Lineamenti.Math Blu-Volume 5|cognome=Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni|editore=>Ghisetti e Corvi, 2012|isbn=978-88-538-0433-4}}
* {{Cita libro|titolo=Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra|cognome=Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi|editore=Ghisetti e Corvi, 1995|isbn=88-80-13173-7}}
* {{en}} A. W. Knapp (2005): ''Basic Real Analysis'', Birkhauser, ISBN 0-8176-3250-6
* {{en}} [[Nicolas Bourbaki]] (2004): ''Elements of Mathematics. Functions of a real variable'', Springer, ISBN 3-540-65340-6