Varietà simplettica: differenze tra le versioni
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Una forma simplettica su una varietà ''M'' è una 2-forma differenziale non degenere chiusa, <math>\omega</math>. La coppia (''M'',<math>\omega</math>) si chiama '''varietà simplettica'''.
Chiariamo la definizione, con il termine non degenere intendiamo che data una [[Base (algebra lineare)|base]] ''X''<sub>i</sub> dello spazio tangente di ''M'' in un punto, la matrice
:<math>\Omega_{ij}=\omega(X_i,X_j)</math>
è invertibile (il determinante è diverso da 0).
La richiesta di <math>\omega</math> chiusa significa che
:<math>d\omega = 0</math>
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in forma matriciale
:<math>\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}</math>
Questa particolare struttura simplettica è importante perché il Teorema di Darboux ci dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.<ref name=":0" />
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== Forma volume simplettico ==
Una varietà simplettica (<math>M</math>, <math>\omega</math>) possiede una forma volume indotta in maniera naturale dalla sua struttura, più precisamente dalla 2-forma.
=== Definizione ===
Si definisce '''forma volume simplettico''', o la '''forma di Liouville''' indotta da <math>\omega</math> la
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== Sistema hamiltoniano ==
Notiamo che
:<math>\omega(X,\cdot):TM\to T^*M</math>
è biettiva per via della non degenerazione di <math>\omega</math> allora è possibile definire un'applicazione inversa
:<math>I:T^*M\to TM</math>
che prende il nome di tensore di Poisson tale che
:<math>\omega(I\alpha,\cdot)=\alpha</math>
dove <math>\alpha\in T^*M</math>.
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==Note==
<references/>
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