Costante di Boltzmann: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua2|Da non confondere con la '''[[costante di Stefan-Boltzmann]]''', σ}}
In [[meccanica statistica]] la '''costante di [[Ludwig Boltzmann|Boltzmann]]''', '''''k''<sub>B</sub>''' (anche indicata con [[Kappa (lettera greca)|κ]]) è una [[Costante fisica|costante dimensionale]] che stabilisce la corrispondenza tra grandezze della [[meccanica statistica]] e grandezze della [[termodinamica]], per esempio tra temperatura ed [[energia termica]] o tra [[probabilità]] di uno stato ed [[entropia (termodinamica)|entropia]] ([[teorema &Eta;]]). Per ragioni storiche, ad esempio anche la [[temperatura assoluta]] è stata definita operativamente, e anche nel [[Sistema Internazionale]] è tradizionalmente misurata con unità proprie (come il [[kelvin]], e il [[rankine]]) sulla base di proprietà notevoli di alcuni materiali (nel caso del kelvin il punto triplo dell'acqua). La [[meccanica statistica]] sin dal lavoro pionieristico di [[ludwig Boltzmann|Boltzmann]] ha però dimostrato che la [[temperatura]] è una forma di [[energia termica]], ed è legata all'agitazione termica delle molecole di cui il materiale è composto.
 
:<math>k_\mathrm{B} = 1{,}380\,649\times10^{-16} \mathrm{\ erg\,K^{-1}}\ \mathrm{(esatto)} </math>
 
In particolare dalla prima delle due espressioni, risulta che un elettronvolt corrisponde a 11'605 kelvin (1/8.6..E-5).
==Legge dei gas ideali==
{{vedi anche|legge dei gas ideali#Formulazione semiempirica}}
La costante di Boltzmann, ''k''<sub>B</sub>, agisce da ponte tra i modelli e le equazioni della fisica che governano il mondo [[Scala macroscopica|macroscopico]] e quelle che regolano il mondo [[Scala microscopica|microscopico]]. Nella sua forma empirica originaria, l'[[equazione di stato dei gas perfetti]] era stata enunciata dicendo che un [[gas ideale]], il prodotto della [[pressione]] ''P'' e del [[volume]] ''V'' è proporzionale alla [[quantità di sostanza]] ''N'' (in [[mole]]) moltiplicata per la [[temperatura assoluta]] ''T'', ovvero con l'equazione:
 
==Gas ideali==
:<math>p V =N R_0 T \,</math>
=={{vedi anche|Legge dei gas ideali==}}
Si dimostra in questo paragrafo che la [[relazione costitutiva]] dei gas ideali può essere rienunciata semplicemente come:
 
:<math>p = n T \,</math>
dove ''R<sub>0</sub>'' è la [[costante dei gas]] (il cui valore è 8,314 462 618...&nbsp;J K<sup>−1</sup> mol<sup>−1</sup> <ref>{{Cita web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r|titolo=CODATA Value: molar gas constant|sito=physics.nist.gov|accesso=2019-05-28}}</ref>). Questa espressione può essere semplificata notevolmente pur mantenendo tutto il suo contenuto teorico. Innanzitutto si passa ad una descrizione locale dividendo per il volume:
 
dove:
:<math>p = n_m R_0 T \,</math>
* ''p'' è la [[pressione]]
* ''n'' è la [[densità numerica]]
* ''T'' è la [[temperatura assoluta]] (misurata in unità energetiche)
 
Per esempio, adottando il [[Sistema Internazionale di unità di misura]], se ''p'' è misurata in [[Pascal]] e ''n'' è in particelle al metrocubo, la temperatura è in [[Joule]]. Per convertire la unità di misura della temperatura in [[kelvin]], bisogna moltiplicare per 1{,}380\,649\times10^{-23}.
dove ''n<sub>m</sub>'' è la [[densità molare]] (mol/m<sup>3</sup>). Introducendo nell'equazione la [[densità numerica]] ''n'', pari alla densità molare moltiplicata per la [[costante di Avogadro]], si ottiene:
Per convertire questa in [[gradi Celsius]], bisogna poi togliere dalla misura della temperatura in kelvin una quantità pari a 273.15.
 
===Dimostrazione===
La costante di Boltzmann, ''k''<sub>B</sub>, agisce da ponte tra i modelli e le equazioni della fisica che governano il mondo [[Scala macroscopica|macroscopico]] e quelle che regolano il mondo [[Scala microscopica|microscopico]]. Nella sua forma empirica originaria, l'[[equazione di stato dei gas perfetti]] era stata enunciata dicendo che un [[gas ideale]], il prodotto della [[pressione]] ''Pp'' e del [[volume]] ''V'' è proporzionale alla [[quantità di sostanza]] ''N'' (in [[molemoli]]) moltiplicata per la sua [[temperatura assoluta]] ''T'', ovvero con l'equazione:
 
:<math>p V = N R_0 T \,</math>
 
dove ''R<sub>0</sub>'' è la [[costante dei gas]] (il cui valore è 8,314 462 618...&nbsp;J K<sup>−1</sup> mol<sup>−1</sup> <ref>{{Cita web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r|titolo=CODATA Value: molar gas constant|sito=physics.nist.gov|accesso=2019-05-28}}</ref>). Questa espressione può essere semplificata notevolmente pur mantenendo tutto il suo contenuto teorico. Innanzitutto si passa ad una descrizione locale dividendo per il volume:
La descrizione locale si ottiene dividendo per il volume e convertendo le unità di misura:
 
:<math>p = n \frac {R_0}{N_A} T \,</math>
 
:<math>p = n k_B T \,</math>
 
Che permette di ridefinire la temperatura da unità proprie alle unità tipiche delle grandezze energia.
 
== Equipartizione dell'energia ==
{{vedi anche|Teorema di equipartizione dell'energia}}
Il [[teorema di equipartizione dell'energia]] afferma che se un ''microsistema'' ha ''f'' [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], l'energia termica di questo sistema in condizioni di equilibrio alla [[temperatura assoluta|temperatura]] ''T'' è:
:<math> E_\mathrm{K}= \frac{1}{2}\, m \langle v^2 \rangle = \frac{f}{2}\, k_\mathrm{B} \, T</math>
* <math>T</math> è la [[temperatura assoluta]].
 
La costante di Boltzmann è la costante di proporzionalità tra la [[temperatura assoluta|temperatura]] e l'energia termica del sistema. Questo teorema è valido solo nel caso in cui non vi è quantizzazione dell'energia, oppure nel caso in cui la separazione dei livelli energetici sia notevolmente inferiore a ''k<sub>B</sub>T''.
Questa stessa espressione può essere ricavata dalla [[teoria cinetica dei gas]] partendo dalla relazione:
:<math> p = \frac{2}{3} \, n \langle v^2 \rangle </math>
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