|
=== Definizione ===
Una '''categoria''' ''<math>\mathcal C''</math> consiste di: quanto segue.
* unaUna [[classe (matematica)|classe]] Ob<math>\text{ob}(''\mathcal C'')</math> i cui elementi sono chiamati '''oggetti'''.
* unaUna classe Mor<math>\text{mor}(''\mathcal C'')</math> i cui elementi sono chiamati '''[[morfismo|morfismi]]''', '''mappe''' o '''mappefrecce'''. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente ''<math>a''</math> e un unico oggetto destinazione ''<math>b''</math> in Ob<math>\text{ob}(''\mathcal C'')</math>. La scrittura ''<math>f'' : ''a'' →\to ''b''</math> indica che ''<math>f''</math> è un morfismo con sorgente ''<math>a''</math> e destinazione ''<math>b''</math>. L'insieme di tutti idei morfismi da ''<math>a''</math> a ''<math>b''</math> è indicato con Mor<math>\text{mor}(''a'','' b'')</math>.
* perPer ogni terna di oggetti ''<math>a''</math>, ''<math>b''</math> e ''<math>c''</math> di <math>\mathcal C</math>, è definita un'operazioneuna binaria:funzione Mor<math>\text{mor}(''b'','' c'') ×\times Mor\text{mor}(''a'','' b'') →\to Mor\text{mor}(''a'','' c'')</math>, chiamata ''composizione di morfismi''. La composizione di ''<math>f'' : ''b'' →\to ''c''</math> con ''<math>g'' : ''a'' →\to ''b''</math> si indica con ''<math>f'' ∘\circ ''g'' : ''a'' →\to ''c''</math> (talvolta si indica semplicemente ''<math>fg''</math>). La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:
** ([[associatività]]) se ''f'': ''a'' → ''b'', ''g'': ''b'' → ''c'' e ''h'': ''c'' → ''d'', allora ''h'' ∘ (''g'' ∘ ''f'') = (''h'' ∘ ''g'') ∘ ''f''
La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:
** ([[funzione identità|identità]]) per ogni oggetto ''x'' esiste un morfismo ''id''<sub>''x''</sub>: ''x'' → ''x'' , chiamato morfismo identità per ''x'', tale che per ogni morfismo ''f'' : ''a'' → ''b'' vale ''id''<sub>''b''</sub> ∘ ''f'' = ''f'' = ''f'' ∘ ''id''<sub>''a''</sub>: ▼* ([[associatività]]) se <math>f : a \to b</math>, <math>g : b \to c</math> e <math>h : c \to d</math>, allora <math>h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f</math>
▲** ([[funzione identità|identità]]) per ogni oggetto ''<math>x ''</math> esiste un morfismo ''id''< sub>''x''</submath> \text{id}_x : ''x '' →\to ''x '' </math>, chiamato '''morfismo identità per '' ' su <math>x ''</math>, tale che per ogni morfismo ''<math>f '' : ''a '' →\to ''b''x</math> vale ''id''< sub>''b''</submath> \text{id}_x ∘\circ ''f '' = ''f ''</math> =e ''f''per ogni morfismo ∘ ''id''< submath> ''a''g : x \to b</ submath> : si ha <math>g \circ \text{id}_x = g</math>.
Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.
| 