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In [[calcolo variazionale]], la funzione '''lagrangiana''' è una [[funzione scalare]] che riassume sinteticamente la dinamica di un [[sistema dinamico|sistema]], quando siquesta può esprimereessere conespressa delledalle [[equazioni variazionali di Eulero|equazioni di Eulero]]. Prende il nome dal matematico e fisico [[Joseph-Louis Lagrange]].
Si può ampliare il concetto al secondo grado di ottimizzazione, introducendo il concetto di (funzione di) ''penalizzazione'', o la ''Lagrangiana aumentata'', che contiene primo e secondo ordine.<ref>Quarteroni, Salerno, Gervasio, Calcolo scientifico 5ª ed., par. 7.8: Ottimizzazione vincolata.</ref> Per molti [[meccanica lagrangiana|sistemi meccanici]], il contesto nel quale è stata individuata originariamente, la lagrangiana corrisponde ad una [[grandezza fisica]] con le dimensioni di una [[energia]], quindi, nel [[Sistema Internazionale]] si può misurare in [[joule]], così come l'[[energia cinetica]] e quella[[energia potenziale|potenziale]].
In molti sistemi newtoniani, si dimostra in particolare che la lagrangiana corrisponde semplicemente alla ''"differenza''" tra l'[[energia cinetica]] e l'[[energia potenziale]]. Il vantaggio di calcolare la lagrangiana al posto della forza, per esempio in una [[simulazione numerica]], è un notevole risparmio del [[costo computazionale]]. Per esempio, in meccanica, anziché risolvere le [[equazioni di Eulero|equazioni vettoriali di Newton]] basate sulla grandezza [[forza]], si deduce prima una lagrangiana scalare, di cui poi si calcolano i gradienti, permettendo un notevole vantaggio rispetto alle [[analisi agli elementi finiti]] delle azioni dinamiche (forze e momenti delle forze).
Un [[principio di minima azione]], cerca di esprimere la dinamica reale di un sistema fisico come quella tra tutte le dinamiche possibili che rende minima unala grandezza, che viene chiamata [[Azione (fisica)|azione]]. Un importante teorema del [[calcolo delle variazioni]] afferma che casi più semplici questa azione corrisponde all'integrale della lagrangiana nel tempo. Nel descrivere sistemi fisici, l'invarianza della Lagrangiana rispetto a trasformazioni continue delle coordinate descrive in particolare le [[legge di conservazione|quantità conservate]] durante il moto, ovvero le [[costante del moto|costanti del moto]] e questo è in accordo con il [[teorema di Noether]].
Un importante teorema del [[calcolo delle variazioni]] afferma che casi più semplici questa azione corrisponde all'integrale della lagrangiana nel tempo. Nel descrivere sistemi fisici, l'invarianza della Lagrangiana rispetto a trasformazioni continue delle coordinate descrive in particolare le [[legge di conservazione|quantità conservate]] durante il moto, ovvero le [[costante del moto|costanti del moto]] e questo è in accordo con il [[teorema di Noether]].
== Meccanica newtoniana ==
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