Frazione egizia: differenze tra le versioni
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{{F|matematica|ottobre 2013}}
In [[matematica]], una '''frazione egizia''' (o '''egiziana''') è una [[frazione (matematica)|frazione]] scritta sotto forma di [[addizione|somma]] di ''[[frazioni unitarie]]'' cioè con ''[[numeratore]] unitario'';
:<math>\frac{1}{
con <math>n</math> intero positivo e <math>a_1,a_2,\ldots,a_n</math> interi positivi a due a due distinti.
Ogni frazione può essere espressa come frazione egizia, il cui nome deriva appunto dal fatto che questa [[Panoramica storica delle notazioni matematiche|notazione]] veniva usata dagli [[egizi]], ai quali permetteva di semplificare i calcoli, dato il loro [[Sistema di numerazione egizio|sistema di numerazione]].
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Per esempio, la frazione <math display="inline">\frac{3}{4} </math> scritta sotto forma di frazione egizia:
:<math>\frac{3}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}
== Studi sulle frazioni egizie ==
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}}
:<math>\frac{2}{p} = \frac{2}{p+1} + \frac{2}{p(p+1)}
Mentre per denominatori che potevano essere fattorizzati:
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}}
:<math>\frac{2}{p \cdot q} = \frac{1}{\frac{(p+1)q}{2}} + \frac{1}{\frac{(p+1)pq}{2}}
Oppure
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}}
:<math>\frac{2}{p \cdot q} = \frac{1}{ p \cdot \frac{p + q}{2}} + \frac{1}{ q \cdot \frac{p + q}{2}}
È da osservare che nessuno dei due procedimenti elencati fornisce la combinazione per <math display="inline">\frac{2}{15}</math> così come appare nella tabella riportata dal [[Papiro di Rhind]]. Lo scriba, infatti, potrebbe aver privilegiato la seguente relazione già nota ed utilizzata dagli egiziani'' (vedi Carl B. Boyer - Storia della Matematica)'':
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}}
:<math>\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{p} = \frac{1}{2p} + \frac{1}{6p}.</math>
=== Medioevo ===
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}}
:<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{b} + \frac {d}{b}
Un altro metodo segnalato da Fibonacci, applicabile quando il denominatore è un multiplo del numeratore diminuito di una unità:
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}}
:<math>\frac{a}{ab - 1} = \frac{1}{b} + \frac{1}{b(ab-1)}
Sono descritti anche metodi algebrici applicabili nel caso il denominatore sia un multiplo del numeratore diminuito di due, tre, quattro unità.
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</ref> La congettura è stata dimostrata nel [[2003]] dal matematico inglese [[Ernie Croot]].
* Il [[
::<math>\sum\frac1{x_i} + \prod \frac1{x_i} = 1
* Le frazioni egizie normalmente richiedono che i denominatori siano tutti diversi, ma questo requisito può essere eliminato per permettere denominatori uguali tra loro. Questo tipo di definizione non permette però di costruire frazioni egizie di minor lunghezza per ogni numero. Comunque è possibile trasformare una frazione egizia con denominatori ripetuti in una classica, con una formula del tipo
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}}
::<math>\frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{1}{a} + \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a(a+1)}
* Graham, nel [[1964]], definì quali numeri possono essere espressi sotto forma di frazione egizia con denominatori elevati alla ''n''. In particolare, con {{Tutto attaccato|1 = ''n'' = 2}}, il matematico trovò che un numero razionale ''q'' può essere espresso come somma di frazioni con esponenti quadratici [[se e solo se]] esso è compreso nell'intervallo
::<math>\left[0,\frac{\pi^2}{6}-1\right)\cup\left[1,\frac{\pi^2}{6}\right)
* L'[[espansione di Engel]], anche detta prodotto egiziano, è un particolare tipo di frazione egizia dove ogni denominatore è multiplo di quello precedente:
::<math>\frac{a}{b} = \frac{1}{k} + \frac{1}{n \cdot k} + \frac{1}{n \cdot (mk)}+ \cdots
== Problemi aperti ==
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Ancora oggi rimangono irrisolti alcuni problemi riguardanti le frazioni egizie. La più nota è
*
::<math>\forall n \in \mathbb{N^*}\qquad \frac{4}{n} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
È stata verificata per tutti gli {{Tutto attaccato|''n'' < 10<sup>14</sup>}}, ma non vi è ancora la ''certezza matematica'' del valore di verità di questa congettura.
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