Teorema di Helmholtz: differenze tra le versioni

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In [[matematica]] e [[fisica]], il '''teorema di Helmholtz''', anche detto '''teorema fondamentale del calcolo vettoriale''' o '''decomposizionescomposizione di Helmholtz''', il cui nome è dovuto a [[Hermann von Helmholtz]], afferma che un [[campo vettoriale]] sufficientemente regolare è completamente determinato quando sono noti la sua [[divergenza]] e il suo [[rotore (matematica)|rotore]] in ogni punto del suo dominio. In tal caso esso può essere espresso come somma di un [[campo vettoriale conservativo]] e di un [[campo vettoriale solenoidale]].
 
La [[Teoria di Hodge|decomposizionescomposizione di Hodge]] può essere vista come una generalizzazione di questo risultato, laddove, invece che campi vettoriali in <math>\R^3</math>, si considerino [[forma differenziale|forme differenziali]] su una [[varietà riemanniana]]. Diverse formulazioni, tuttavia, richiedono che la varietà sia un [[spazio compatto|insieme compatto]].<ref>{{Cita pubblicazione|jstor=2695643|titolo=Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space|nome=Jason|cognome=Cantarella|nome2=Dennis|cognome2=DeTurck|nome3=Herman|cognome3=Gluck|rivista=The American Mathematical Monthly|volume=109|numero=5|anno=2002|pp=409–442}}</ref> Poiché <math>\R^3</math> non è compatto, la decomposizionescomposizione di Hodge generalizza quella di Helmholtz se, invece della compattezza, si impongono determinate condizioni alla decrescita all'infinito delle forme differenziali presenti.
 
==Il teorema==