Teorema del minimax: differenze tra le versioni
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== Esempio ==
In un generico gioco a somma zero a due persone per il
: <math>\max_{x\in \mathit{K_{1}}} v </math>
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La funzione lagrangiana associata a questo problema è:
:<math> \mathcal{L}(\mathbf{x},\mathbf{y}) = v + \left \langle y , v-Ax
dove <math>\mathbf{y}=(y_1, \cdots, y_m)</math> rappresentano i
Osservato che la funzione lagrangiana <math> \mathcal{L}(\mathbf{x},\mathbf{y}) = v + \left \langle y , v-Ax \right \rangle </math> risulta essere una [[funzione convessa]] nella variabile <math>\mathbf{x} </math> sull'[[Inviluppo convesso|insieme]] <math> \mathit{K_{1}} = \left\{x \in \mathbb{R}^n | \sum_{j=1}^n x_j \cdot \alpha_j \quad | \quad \alpha_j = 1, \quad \sum_{j=1}^n x_j =1, \quad x_j \ge 0 \quad \forall j \right\} </math>, che la lagrangiana <math> \mathcal{L}(\mathbf{x},\mathbf{y}) </math> è chiaramente una [[funzione lineare]] in <math>\mathbf{y}</math>, dunque risulta essere banalmente concava in <math>\mathbf{y}</math> in quanto ogni funzione lineare è sia concava che convessa e che i due insiemi <math> \mathit{K_{1}} </math> e <math> \mathit{K_{2}} </math> sono compatti, si deduce che la relazione di dualità
:<math> \max_{x\in \mathit{K_{1}}}\min_{y\in \mathit{K_{2}}} \mathcal{L}(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \min_{y\in \mathit{K_{2}}}\max_{x\in \mathit{K_{1}}} \mathcal{L}(\mathbf{x},\mathbf{y})</math>
è diretta conseguenza del teorema del minimax.
==Note==
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