Insieme aperto: differenze tra le versioni
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[[Image:Red blue circle.svg|thumb|right|I punti <math>(x,y)</math> del [[piano cartesiano]] che soddisfano la relazione <math>x^2+y^2=r</math> formano una [[circonferenza]] qui disegnata in blu. I punti tali che <math>x^2+y^2<r</math> sono disegnati in rosso. La parte disegnata in rosso forma un insieme aperto, mentre l'unione dei punti disegnati in rosso e in blu formano un insieme chiuso.]]
Il concetto di '''insieme aperto''' si trova in [[matematica]] in molti ambiti e con diversi gradi di generalità. Intuitivamente, un [[insieme (insiemistica)|insieme]] è aperto se è possibile spostarsi sufficientemente poco in ogni direzione a partire da un punto dell'insieme senza uscire dall'insieme stesso. In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire concetti come "vicino", "lontano", "attaccato", "separato"; definizioni non intuitive di insiemi aperti corrisponderanno a situazioni matematiche in cui questi concetti vengono utilizzati in modo non intuitivo.
== Spazi topologici ==
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== Spazi metrici ==
In uno [[spazio metrico]] (M,d), un sottoinsieme U di M si dice '''aperto''' se, per ogni punto x di U, esiste un numero reale ε > 0 tale che i punti che distano da x per meno di ε appartengono ancora a U. Formalmente: se d(x,y) < ε, allora y appartiene a U. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di M secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (''ma '''non''' viceversa'').▼
== Spazio euclideo ==
▲In uno [[spazio metrico]] (M,d), un sottoinsieme U di M si dice '''aperto''' se, per ogni punto x di U, esiste un numero reale ε > 0 tale che i punti che distano da x per meno di ε appartengono ancora a U. Formalmente: se d(x,y) < ε, allora y appartiene a U. Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di M secondo la definizione precedente: in questo modo ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (''ma '''non''' viceversa'').
Lo [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math> è un particolare spazio metrico. Un '''insieme aperto''' <math>U</math> dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni <math>x</math> di <math>U</math> esiste una [[palla (matematica)|palla]] di raggio <math>r>0</math> centrata in <math>x</math>, interamente contenuta in <math>U</math>.
In particolare, un [[intervallo (matematica)|intervallo]] in <math>\R</math> è aperto se è del tipo <math>(a,b)</math>, dove <math>a</math> e <math>b</math> possono essere rispettivamente <math>-\infty </math> e <math>+\infty</math>.
== Insieme chiuso ==
A ogni definizione di insieme aperto corrisponde una definizione di [[insieme chiuso]]. In generale un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto; nell'ambito degli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizioni a parte e questa proprietà viene provata come un [[teorema]].
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== Voci correlate ==
*[[insieme chiuso]]
* [[intorno]]
[[Categoria:Topologia generale]]
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