Differenze tra le versioni di "Distribuzione binomiale"

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supporto = <math>\{0, 1, \dotsc, n\}\ </math>|
pdf = <math>\textstyle {n\choose k} p^k q^{n-k}</math> |
cdf = <math>I_q(n-k,k+1)</math><br />([[funzioneFunzione Betabeta di Eulero#Funzione beta incompleta|funzione Beta incompleta regolarizzata]]) |
media = <math>np\ </math> |
mediana = tra <math>\lfloor np\rfloor</math> e <math>\lceil np\rceil</math><br />(non precisa)|
}}
 
In [[teoria della probabilità]] la '''distribuzione binomiale''' è una [[Variabile casuale#Distribuzione di probabilità|distribuzione di probabilità]] [[distribuzione discreta|discreta]] che descrive il numero di successi in un [[processo di Bernoulli]], ovvero la [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] <math>S_n=X_1+X_2+\dotsb+X_n</math> che somma <math>n</math> variabili aleatorie [[variabileVariabili dipendenti e indipendenteindipendenti|indipendenti]] di uguale [[distribuzione di Bernoulli]] <math>\mathcal{B}(p)</math>.
 
Esempi di casi di distribuzione binomiale sono i risultati di una serie di lanci di una stessa moneta o di una serie di estrazioni da un'urna (con reintroduzione), ognuna delle quali può fornire due soli risultati: il ''successo'' con probabilità <math>p</math> e il ''fallimento'' con probabilità <math>q=1-p</math>.
La distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(n,p)</math> è caratterizzata da due parametri:<ref>{{cita|Ross|p. 146|Ross, 2003}}.</ref>
* <math>n</math>: il numero di prove effettuate.
* <math>p</math>: la probabilità di successo della singola [[ProveProcesso di Bernoulli|prova di Bernoulli]] <math>X_i</math> (con <math>0 \le p \le 1</math>).
Per semplicità di notazione viene solitamente utilizzato anche il parametro <math>q=1-p</math>, che esprime la probabilità di fallimento per una singola prova.
 
cioè ogni successione con <math>k</math> successi e <math>n-k</math> insuccessi ha probabilità <math>p^kq^{n-k}</math>, mentre il numero di queste successioni, pari al numero di modi (o [[Combinazione|combinazioni]]) in cui possono essere disposti i <math>k</math> successi negli <math>n</math> tentativi, è dato dal [[coefficiente binomiale]] <math>\textstyle\binom n k = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.
 
La formula del [[Teorema binomiale|binomio di Newton]] mostra come la somma di tutte le probabilità nella distribuzione sia uguale a <math>1</math>:
:<math>\sum_{k=0}^{n} P(S_n=k) = \sum_{k=0}^{n} \binom n k p^k q^{n - k} = (p+q)^n = (p + 1 - p)^n = (1)^n = 1</math>
 
 
== Caratteristiche ==
Siccome la distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(n,p)</math> descrive una variabile aleatoria <math>S_n</math> definita come la somma di <math>n</math> variabili aleatorie indipendenti <math>X_i</math> di uguale [[Variabile casualeDistribuzione di Bernoulli|legge di Bernoulli]] <math>\mathcal{B}(p)</math>, molte caratteristiche di <math>S_n</math> possono essere ricavate da quelle di <math>X</math>:
* il [[valore atteso]]
:<math>E[S_n] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = nE[X] = np</math>
Gli insuccessi in una sequenza di estrazioni da un'urna in un processo di Bernoulli sono descritti da una variabile aleatoria che segue la [[distribuzione di Pascal]], un caso limite della quale è la [[distribuzione geometrica]].
 
I successi in una sequenza di estrazioni da un'urna, eseguite ''senza'' reintroduzione degli estratti, sono descritti da una variabile aleatoria che segue la [[Variabile casualeDistribuzione ipergeometrica|legge ipergeometrica]].
 
=== Convergenze ===
Quando <math>n</math> tende a infinito, lasciando fisso <math>\lambda=np</math>, la distribuzione binomiale tende alla [[distribuzione di Poisson]] <math>P(\lambda)=P(np)</math>. In [[statistica]] quest'approssimazione viene solitamente accettata quando <math>n \ge 20</math> e <math>p \le 1/20</math>, oppure quando <math>n \ge 100</math> e <math>np \le 10</math>.
 
Per il [[Teoremi centrali del limite|teorema del limite centrale]], quando <math>n</math> tende a infinito, lasciando fisso <math>p</math>, la distribuzione binomiale tende alla [[distribuzione normale]] <math>N(np,npq)</math>, di media <math>np</math> e varianza <math>npq</math>. In statistica quest'approssimazione viene solitamente accettata quando <math>np>5</math> e <math>nq>5</math>.
 
Più precisamente, il teorema del limite centrale afferma che
 
=== Generalizzazioni ===
Una generalizzazione della distribuzione binomiale <math>\mathcal{B}(p,n)</math> è la legge [[Distribuzione beta-binomiale|distribuzione Beta-binomiale]] <math>\Beta(a,b,n)</math>, che descrive la somma <math>S_n=X_1+X_2+\dotsb+X_n</math> di <math>n</math> variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione di Bernoulli <math>\mathcal{B}(P)</math>, dove <math>P</math> segue la legge Beta <math>\Beta(a,b)</math>. (Al contrario della distribuzione binomiale, le <math>X_i</math> non hanno lo stesso parametro.)
 
La distribuzione binomiale è una delle quattro distribuzioni di probabilità definite dalla [[Distribuzione di Panjer|ricorsione di Panjer]]: <math>P(k)=(-\tfrac{p}{q}+\tfrac{1}{k}\tfrac{(n+1)p}{q})P(k-1)</math>.