Differenze tra le versioni di "Distribuzione di Pascal"

m
nessun oggetto della modifica
(Corretta notazione parametro)
m
| funzcar =<math>\left(\frac{pe^{it} }{ 1-qe^{it} }\right)^n</math>
}}
In [[Teoria della probabilità|teoria delle probabilità]] la '''distribuzione di Pascal''' è una [[Variabile casuale#Distribuzione di probabilità|distribuzione di probabilità]] [[distribuzione discreta|discreta]] con due parametri, <math>p</math> ed <math>n</math>, che descrive il numero di ''fallimenti'' precedenti il ''successo'' ''n''-esimo in un [[processo di Bernoulli]] di parametro ''p''.
 
A volte si considera la distribuzione di Pascal come quella distribuzione che descrive il numero di prove necessarie per ottenere ''n'' successi. Questa distribuzione è equivalente alla precedente ma riscalata, ovvero descrive una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] <math>T_n+n</math> anziché <math>T_n</math>.
 
Ad esempio, lanciando una moneta fino ad ottenere 3 volte ''testa'', la distribuzione di Pascal descrive le probabilità per il numero di risultati ''croce'' visti nel frattempo.
La distribuzione prende il nome dal [[matematico]] [[Francia|francese]] [[Blaise Pascal]].
 
Questa distribuzione di probabilità può essere generalizzata sostituendo il [[numero naturale]] ''n'' con un [[numero reale]] [[|numero positivo|reale positivo]] ''r''. In questo caso viene detta anche '''distribuzione binomiale negativa''' (per la sua particolare formula) o '''di Polya''' (dal [[matematico]] [[Ungheria|ungherese]] [[George Polya]]).
 
== Definizione ==
Dato un [[processo di Bernoulli]], ovvero una serie di [[variabileVariabile aleatoriacasuale|variabili aleatorie]] [[variabiliVariabili dipendenti e indipendenti|indipendenti]] <math>X_1,X_2,...</math> di uguale [[distribuzione di Bernoulli]] <math>\mathcal{B}(p)</math>, la distribuzione di Pascal <math>\mathcal{NB}(p,n)</math>descrive la variabile aleatoria <math>T_n</math> che conta il numero di ''fallimenti'' precedenti il ''successo'' numero <math>n</math> (ovvero il numero di prove necessarie ad ottenerlo, meno ''n''):
:<math>T_n=\min\{t\colon X_1+...+X_{t+n}=n\}</math>,
:<math>T_n+n=\min\{t\colon X_1+...+X_t=n\}</math>.
 
===[[Distribuzione geometrica]]===
Una [[Variabile casuale|variabile aleatoria]] <math>T_n</math> con distribuzione di Pascal <math>\mathcal{NB}(p,n)</math> è pari alla somma <math>Y_1+...+Y_n</math> di ''n'' variabili aleatorie [[variabiliVariabili dipendenti e indipendenti|indipendenti]] con uguale [[distribuzione geometrica]] <math>\mathcal{G}(p)-1</math>. Questo si può vedere considerando come <math>Y_i</math> la variabile aleatoria che ''conta'' il numero di ''fallimenti'' intercorsi tra il ''successo'' numero <math>i-1</math> e il ''successo'' numero <math>i</math>: le <math>Y_1,...,Y_n</math> sono allora indipendenti ed hanno distribuzione geometrica di parametro ''p'' sottratto di uno perché la distribuzione geometrica conta il numero di prove per ottenere un successo che corrispondono al numero di fallimenti e la prova finale del successo.
In particolare, la distribuzione di Pascal <math>\mathcal{NB}(p,1)</math> coincide con la distribuzione geometrica <math>\mathcal{G}(p)-1</math>, e la somma di ''m'' variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Pascal aventi lo stesso parametro ''p'' segue ancora la distribuzione di Pascal con parametro ''p'' (è sempre somma di variabili aleatorie indipendenti con uguale distribuzione geometrica).
 
La distribuzione di Pascal è una [[mistura di distribuzioni|mistura]] della [[distribuzione Gamma]] e della [[distribuzione di Poisson]]: una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson <math>\mathcal{P}(L)</math>, il cui parametro ''L'' segua una distribuzione Gamma, segue la distribuzione di Pascal.
 
La distribuzione di Pascal <math>\mathcal{NB}(\frac{r-\lambda}{r},r)</math> di speranza <math>\lambda</math>, per <math>r\longrightarrow +\infty</math> [[convergenzaConvergenza di variabili casuali#Convergenza in distribuzione|converge]] alla distribuzione di Poisson <math>\mathcal{P}(\lambda)</math>.
 
La distribuzione di Pascal si trova anche come mistura della distribuzione di Poisson e della [[distribuzione logaritmica]], ovvero descrive la somma <math>X_1+...+X_N</math> di un numero <math>N</math>, che segue la distribuzione di Poisson, di variabili aleatorie indipendenti che seguono una stessa distribuzione logaritmica.
che esprime per un [[processo di Bernoulli]] l'equivalenza degli eventi "ottenere meno di ''k'' insuccessi prima del successo ''n''-esimo" e "ottenere almeno ''n'' successi nelle prime ''n+k'' prove".
 
La [[distribuzione di Panjer]], che definisce i valori per [[Algoritmo ricorsivo|ricorsione]], generalizza la distribuzione di Pascal:
:<math>P(k)=\left(q+\frac{q(n-1)}{k}\right)P(k-1)</math>
 
== Voci correlate ==
* [[Coefficiente binomiale]]
* [[Convergenza indi distribuzionevariabili casuali]]
* [[Distribuzione geometrica]]
* [[Distribuzione di Poisson]]