Differenze tra le versioni di "Dominio e codominio"

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In [[matematica]] il '''dominio''' e il '''codominio''' di una [[funzione (matematica)|funzione]] sono gli [[insieme|insiemi]] su cui è definita la funzione la quale associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.
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== Definizione di funzione ==
In matematica una [[funzione (matematica)|funzione]] è il dato di tre oggetti: un ''dominio'' <math>X</math>, un ''codominio'' <math>Y</math> e una ''legge'' <math>x\mapsto f(x)</math> che associa ad ogni elemento <math>x</math> di <math>X</math> uno e un solo elemento di <math>Y</math> che viene indicato <math>f(x)</math>. Una funzione viene definita indicando tutti e tre questi oggetti, che vengono raccolti nella notazione
 
:<math>\begin{array}[t]{ccc}
f\colon & X & \to & Y\\
& x & \mapsto & f(x)
\end{array}</math>
o nella notazione equivalente
:<math>f\colon X\to Y\colon x\mapsto f(x)</math>
 
È importante notare che il dominio e il codominio devono essere definiti ''prima'' della legge di applicazione, e che ''tutti'' assieme questi oggetti definiscono una funzione. In particolare, senza indicare il dominio e il codominio non può essere definita alcuna funzione.
 
Ad esempio, per ogni insieme <math>S</math> è ben definita una funzione ''identità su <math>S</math>'', con dominio <math>S</math>, codominio <math>S</math> e legge di applicazione <math>x\mapsto x</math>:
:<math>\text{id}_S\colon S\to S\colon x\mapsto x</math>
Omettendo dominio e codominio, la sola legge di applicazione <math>x\mapsto x</math> non è ben definita e non definisce alcuna funzione.
 
== Insieme di definizione ==
{{vedi anche|Insieme di definizione}}
In alcuni ambienti si usa sottintendere il dominio e il codominio di una [[funzione di variabile reale|funzione reale di variabile reale]] (cioè con dominio e codominio [[sottoinsieme|contenuti]] nell'insieme dei [[numeri reali]]) quando il dominio è pari all'[[insieme di definizione]] della funzione e il codominio è l'intero insieme dei numeri reali.
 
Ad esempio,
:nell'ambito delle funzioni reali di variabile reale, <math>f\colon x\mapsto x^2</math> potrebbe sottintendere un dominio <math>\mathbb{R}</math> e un codominio <math>\mathbb{R}</math>;
:<math>f\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+\colon x\mapsto x^2</math> ha certamente dominio <math>\mathbb{R}^+</math> e codominio <math>\mathbb{R}^+</math>;
:<math>f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}\colon x\mapsto x^2</math> ha certamente dominio <math>\mathbb{C}</math> e codominio <math>\mathbb{C}</math>.
Dunque nel sottintendere dominio e codominio, ci si limita a sottoinsiemi dei numeri reali e si rinuncia a studiare le proprietà di una funzione (come [[iniettività]], [[suriettività]], [[morfismo]]).
 
== Insieme immagine ==
{{vedi anche|Immagine (matematica)}}
[[File:Codomain.SVG|thumb|upright=1.4|<math>Y</math> rappresenta il ''codominio'' della funzione <math>f</math>; l'insieme denotato con <math>f(X)</math>, che è sempre [[sottoinsieme|incluso]] in <math>Y</math>, è invece l<nowiki>'</nowiki>''immagine'' di <math>f</math>.]]
Come il dominio, anche il codominio è parte integrante della definizione di funzione e senza di esso non è possibile definire una legge di applicazione.
 
Da un punto di vista puramente computazionale, ovvero se ci si interessa alle sole immagini <math>f(x)</math> dei singoli elementi del dominio, si considera il solo insieme delle immagini, o [[immagine (matematica)|immagine]] <math>f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}</math>, che è un sottoinsieme del codominio.
 
È sempre possibile definire una ''nuova'' funzione
:<math>\tilde{f}\colon X\to f(X)\colon x\mapsto f(x)</math>
che è talvolta identificata con la funzione stessa, pur avendo diverse proprietà (come suriettività o morfismo).
 
Ad esempio, nel calcolo di <math>f(1)=\tilde{f}(1)</math> vengono identificate le due funzioni
:<math>f\colon\R\to\R\colon x\mapsto e^x</math>
:<math>\tilde{f}\colon\R\to\R_0^+\colon x\mapsto e^x</math>
anche se solo la seconda è un [[isomorfismo]] tra il gruppo <math>(\R,+)</math> e il gruppo <math>(\R_0^+,\cdot)</math>.
 
== In analisi complessa ==
In [[analisi complessa]] con dominio solitamente si indica un sottoinsieme [[insieme aperto|aperto]] e [[insieme connesso|connesso]] di <math>\Complex^n</math>.
 
== Topologia ==
In [[topologia]] per dominio si intende la [[Chiusura (topologia)|chiusura]] di un [[insieme aperto]]. Inoltre, se il suddetto aperto manifesta la proprietà della [[Spazio connesso|connessione]], anche il dominio può dirsi ''connesso''.
 
== Bibliografia ==
* G. Zwirner, L. Scaglianti, ''Itinerari di matematica vol 2'', Padova, CEDAM, 1990, ISBN 88-13-16854-3
 
== Voci correlate ==
* [[Funzione (matematica)]]
* [[Immagine (matematica)]]
* [[Insieme di definizione]]
 
{{Analisi matematica}}
{{Portale|matematica}}
 
[[Categoria:Matematica di base]]
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