Teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy: differenze tra le versioni
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:<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{M}{L}\frac{L^{k+1} \delta^{k+1}}{(k+1)!}=\frac{M}{L} (e^{L \delta}- 1).</math>
Passando al [[limite (matematica)|limite]] per <math>k \rightarrow + \infty</math> e sfruttando nuovamente la lipschitzianità di <math>f</math> rispetto a <math>y</math>, si ottiene la [[convergenza totale]] e quindi uniforme della serie telescopica<math>\sum_{k=1}^\infty ||y_k-y_{k-1}||</math> (maggiorata dalla serie <math>\sum_{k=1}^\infty \frac{ML^{k-1} \delta^{k}}{k!}</math> convergente) alla funzione <math>y(x)-y_0</math> , mentre per quanto riguarda il secondo membro della successione definita all'inizio
\left(\int_{x_0}^x f(t,y_k(t))\mathrm{d}t\right)
</math>
Si può a questo punto utilizzare il [[teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale]] per ottenere:
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