Logicismo: differenze tra le versioni

Ma è lecito porre come assioma necessario il passaggio da un concetto alla sua estensione? E dal fatto che l'estensione di un concetto coincide con quella di un altro concetto, si può concludere che ogni oggetto che cade sotto il primo concetto cade anche sotto il secondo? Ebbene: il 16 giugno 1902, mentre stava scrivendo il secondo volume dei ''Principi dell'aritmetica'', il libro in cui procedeva alla vera e propria riduzione alla logica dei concetti basilari dell'aritmetica stessa, Frege ricevette una lettera in cui [[Bertrand Russell]], uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'[[antinomia]] fondamentale che vanificava la sua intera opera, dimostrando la '''contraddittorietà dell'assioma di comprensione''' su cui Frege si era basato. L'antinomia è oggi nota con il nome di [[paradosso di Russell]]. <br>Frege pubblicò comunque nel 1903 il secondo volume dei ''Principi dell'aritmetica'', riportandovi l'antinomia di Russell come aggiunta, esposta in questo modo:{{Citazione|A uno scrittore di scienza ben poco può giungere più sgradito del fatto che, dopo aver completato un lavoro, venga scosso uno dei fondamenti della sua costruzione. Sono stato messo in questa situazione da una lettera del signor Bertrand Russell, quando la stampa di questo volume stava per essere finita. [...] Ma veniamo al fatto! Il signor Russell ha scoperto una contraddizione che ora esporrò. Nessuno vorrà asserire, della classe degli uomini, che essa è un uomo. Abbiamo qui una classe che non appartiene a se stessa. Dico infatti che qualcosa appartiene a una classe se questo qualcosa cade sotto un concetto, la cui estensione è proprio la classe stessa. Fissiamo ora il concetto: classe che non appartiene a se stessa! L'estensione di questo concetto, ammesso che se ne possa parlare, è, per quanto detto, la classe delle classi che non appartengono a se stesse. Vogliamo chiamarla brevemente la classe K. Chiediamoci ora se questa classe K appartenga a se stessa! Supponiamo in primo luogo che essa appartenga a se stessa. Se qualcosa appartiene a una classe, cade sotto il concetto la cui estensione è la classe in esame, di conseguenza, se la nostra classe appartiene a se stessa, allora è una classe che non appartiene a se stessa. La nostra prima supposizione conduce quindi a una contraddizione. Supponiamo, in secondo luogo, che la nostra classe K non appartenga a se stessa: in questo caso essa cade sotto il concetto di cui essa stessa rappresenta l'estensione, quindi appartiene a se stessa: qui di nuovo abbiamo una contraddizione!}}Gli sforzi successivi di Frege per risolvere il paradosso non sirisultarono sarebbesoddisfacenti, piùma ripresoFrege dalcontinuò colpoad infertoglioccuparsi dadi Russelllogica e perfilosofia ildella restomatematica fino a due anni prima della suamorte<ref>https://plato.stanford.edu/entries/frege</ref> vitaLa siconseguenza sarebbedel tenutoparadosso lontanodi dalRussell è che la [[teoria degli insiemi]] sviluppata da [[Georg Cantor]] e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente contraddittoria tramite la definizione di un insieme molto particolare: l'insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi (''"The set of all sets that do not contain themselves as members"''). La definizione di questo insieme porta al paradosso che questo insieme contiene e non contiene se stesso, dimostrando che la definizione di insieme di Frege non poteva essere usata problemacome deifondamento fondamenticerto della definizione del concetto di numero e quindi della matematica.