Varianza: differenze tra le versioni
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→Massimo e minimo della varianza fissati i valori estremi della distribuzione: Ho "riordinato" il significato di due abbreviazione, nello specifico "min e max" erano seguiti da " massimo e minimo" (al contrario), io ho corretto in "minimo e massimo" Etichette: Modifica da mobile Modifica da web per mobile |
→Varianza della somma di due variabili indipendenti: Precedentemente si assumeva che il valore atteso delle singole variabili dovevano essere nulle, non mostrando la dipendenza dalla covarianza. |
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|larghezza = 100%
|titolo = Dimostrazione
|contenuto = Per definizione della varianza abbiamo:
:<math>\sigma^2_{X+Y}=\mathbb{E}[(X+Y)^2]-\mathbb{E}[(X+Y)]^2=\mathbb{E}[X^2]+2\mathbb{E}[XY]+\mathbb{E}[Y^2]-\mathbb{E}[X]^2-\mathbb{E}[Y]^2-2\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]=\sigma^2_X+\sigma^2_Y+2\mathbb{E}[XY]-2\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y],</math>
e siccome le variabili sono indipendenti risulta <math>\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]
Nel caso generale basta traslare le variabili di modo che abbiano valore atteso nullo (come <math>X'=X-\mathbb{E}[X]</math>); la loro varianza non cambia in quanto la varianza è invariante per traslazione.
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