Versione delle 20:28, 1 mag 2020 modifica Lingeandrea (discussione \| contributi) 5 modifiche m Ho cambiato un indice nella forma integrale che secondo me era sbagliato da n a k Etichetta: Modifica visuale ← Differenza precedente		Versione delle 02:41, 16 giu 2020 modifica annulla Avemundi (discussione \| contributi) Utenti autoverificati, Mover 299 981 modifiche Elisione obbligatoria Differenza successiva →
Riga 1: In [[geometria differenziale]] e nel [[calcolo differenziale]] a più variabili, una '''forma differenziale''' è un particolare oggetto che estende la nozione di [[funzione (matematica)\|funzione]] a più variabili. Su una <math> n </math>-[[varietà differenziabile]], ad esempio un [[insieme aperto\|aperto]] dello [[spazio euclideo]] <math>\R^n </math>, una forma differenziale <math>\omega </math> ha una dimensione <math> k </math> minore o uguale a <math> n </math>. Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come '''<math>k</math>-forma'''. Nel caso <math> k = 0 </math>, la forma <math>\omega </math> è ~~una~~ un'ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza <math>\omega </math> è la possibilità di effettuare l'[[integrale]] di <math>\omega </math> su un qualsiasi oggetto geometrico <math> \Gamma </math>, di analoga dimensione <math> k </math>, di una generica <math> n </math>-[[varietà differenziabile]]. Il risultato di questa integrazione è indicato con :<math>\int_\Gamma \omega </math> Riga 115: La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una [[funzione differenziabile]], coincide con il [[differenziale (matematica)\|differenziale]] della funzione. La derivazione esterna è ~~una~~ un'operazione lineare. In altre parole, :<math>d(a\omega + b\mu) = a\cdot d\omega + b \cdot d\mu</math> dove però <math>a,b</math> sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente: Riga 161: a partire da una qualsiasi funzione :<math>f:A\to \mathbb C. </math> definita su un aperto <math>A</math> del piano complesso. Si tratta di ~~una~~ un'usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se <math>f</math> è una [[funzione olomorfa]] su un aperto <math>A</math> del piano, allora la forma <math>f(z)dz</math> risulta essere chiusa. Inoltre <math>f(z)dz</math> è esatta con primitiva <math>g(z)</math> se e solo se <math>g(z)</math> è anch'essa olomorfa con derivata complessa <math> g'(z) = f(z)</math> pari a <math>f(z)</math>. In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma Riga 179: ed il risultato di questa operazione è un numero reale. Se <math>k=0</math>, la forma è una funzione, <math>S</math> è ~~una~~ un'unione di punti e l'integrale di <math>\omega</math> su <math>S</math> è semplicemente la somma dei valori di <math>f</math> assunti sui punti. In generale la forma è del tipo Riga 192: :<math>\frac{\partial(x_{i_1},\dots,x_{i_k})}{\partial(u_{1},\dots,u_{k})}</math> è il [[Determinante (algebra)\|determinante]] dello [[jacobiano]]. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare ~~una~~ un'[[orientazione]] su <math>S</math> e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione. Se la sottovarietà <math>S</math> è [[orientazione\|orientabile]] ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un [[toro (geometria)\|toro]] in <math>\R^3</math>), l'integrale su <math>S</math> è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono <math>S</math> a meno di un insieme di misura nulla.

Forma differenziale: differenze tra le versioni