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Dipolo elettrico: differenze tra le versioni

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→‎Potenziale elettrico: aggiunti dettagli per chiarire lo sviluppo in serie di Taylor
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→‎Potenziale elettrico: isolata la parte con i calcoli dettagliati per ricavare la formula del potenziale di dipolo rispetto alla parte più generale
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[[File:Dipole Contour.svg|thumb|Schematizzazione del [[potenziale elettrico]] generato da un dipolo orientato orizzontalmente.]]
{{vedi anche|Potenziale elettrico}}
Il valore del [[potenziale elettrostatico]] generato nelda puntouna dellodistribuzione spaziodiscreta identificatodi dalN vettorecariche è dato da:<math display="inlineblock">V(\mathbf r</math>R; da\mathbf unar_1,\dots,\mathbf distribuzioner_n) discreta= di\frac cariche{1} è{4 \pi \epsilon} \sum_{i=1}^{N} \frac {q_i}{|\mathbf R- \mathbf r_i|}</math>dove:
 
* <math display="inline">\mathbf R</math> identifica un generico punto P nello spazio;
:<math>V (\mathbf r) = \frac {1} {4 \pi \varepsilon} \sum_{i=1}^{N} \frac {q_i}{|\mathbf r- \mathbf r_i|}</math>▼
* <math display="inline">\mathbf r_i</math> è il vettore posizione della ''i-''esima carica puntiforme;
 
dove con* <math display="inline">\mathbf r_iepsilon</math> si è indicato il vettore posizione della ''i-''esima carica puntiforme, ε è la [[permittività elettrica]] del mezzo (questa equazione vale anche in un mezzo diverso dal vuoto).<br />
 
DaPartendo da questa formula generale è possibile ricavare il caso particolare del potenziale generato da un dipolo, ovvero da un sistema di due cariche uguali in valore assoluto ma di segno opposto <math display="inline">{q_1}=q </math> e <math display="inline">{q_2}=-q </math> rispettivamente ubicate in <math display="inline">\mathbf{r_1}</math> e <math display="inline">\mathbf{r_2}</math>. (dove, consistentemente con la succitata definizione di <math>\mathbf d</math>, poniamo <math display="inline">\mathbf{r_1}=\frac{\mathbf{d}}{2}</math> e <math display="inline">\mathbf{r_2}=-\frac{\mathbf{d}}{2}</math>, cosicché il vettore distanza tra le due cariche (<math display="inline">\mathbf{r_1}- \mathbf{r_2}</math>) sia effettivamente <math display="inline">\mathbf{d}</math>).
 
Se, consistentemente con la succitata definizione di dipolo, si definisce il vettore distanza tra le due cariche <math display="inline">\mathbf{d} = \mathbf{r_2} - \mathbf{r_1} </math>e, di conseguenza, il vettore dipolo <math display="inline">\mathbf{p} = q \mathbf{d} </math>, si otterrà che in un punto P, la cui posizione rispetto al punto medio tra le due cariche è identificata dal vettore <math display="inline">\mathbf{r} </math> (<math display="inline">|\mathbf{r}| \gg |\mathbf d| </math>), il potenziale è dato da:
Il potenziale sarà la sovrapposizione (e quindi la somma) dei potenziali delle singole cariche:▼
 
▲:<math display="block">VV_{\mathbf p} (\mathbf r) = \frac {1q d \cos \theta} {4 \pi \varepsilon} \sum_{i=1}r^{N2} = \frac {q_i}{|\mathbf r- \cdot \mathbf r_i|p}{4 \pi \varepsilon r^3} </math>
 
Da tale formula risulta evidente che il valore del potenziale elettrostatico nel punto P dipende dai vettori <math display="inline">\mathbf{p} </math> (''momento di dipolo'') e <math display="inline">\mathbf{r} </math> (posizione del punto P rispetto al punto medio tra le due cariche) ed quindi anche dal loro rispettivo orientamento.
 
In particolare il potenziale:
 
* diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza del punto P dal centro del dipolo;
* è nullo sul piano perpendicolare al dipolo (<math display="inline">\theta=\pm \frac{\pi}{2}</math>) e passante per il suo centro;
* a parità di distanza, è massimo (in valore assoluto) lungo la direzione di <math display="inline">\mathbf{r} </math> (quindi quando <math display="inline">\mathbf{r} </math> è parallelo a <math display="inline">\mathbf{p} </math> ovvero quando <math display="inline">\theta = 0 </math>);
 
Da notare che le considerazioni riguardanti il dipolo valgono formalmente sia nel vuoto che in presenza di materia quando <math>d \ll r</math>.
 
===== Dimostrazione =====
▲IlPartendo dalla formula generale, il potenziale sarà ladato dalla sovrapposizione (e quindi ladalla somma) dei potenziali delle singole cariche:
 
:<math>\begin{align}
Line 57 ⟶ 73:
\end{align} </math>
 
dove nell'ultimo passaggio, senza perdere di generalità, per comodità si è fissata l'origine degli assi nel punto medio tra le due cariche, la posizione delle quali risulterà quindi rispettivamente <math display="inline">\mathbf{r_1}=\frac{\mathbf d}{2} </math> e <math display="inline">\mathbf{r_2}=-\frac{\mathbf d}{2} </math>.
Ora per <math>r \gg d</math>, per il denominatore, si avrà che :▼
 
▲Ora, perponendosi a grande distanza dal dipolo (ovvero scegliendo <math>r \gg d</math>), per il denominatore, si avrà che :
 
:<math>|\mathbf r - \frac{\mathbf d}{2}| |\mathbf r + \frac{\mathbf d}{2}| \approx r^2 </math>
Line 84 ⟶ 102:
 
:<math>\mathbf r \cdot \mathbf p = r \, p \cos \theta = r\,(q\,d) \cos{\theta}=q\,r\,d \cos{\theta} </math>
 
Il potenziale risulta quindi essere nullo sul piano perpendicolare al dipolo (<math display="inline">\theta=\pm \frac{\pi}{2}</math>) e passante per il suo centro, e diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza. Da notare che le considerazioni riguardanti il dipolo valgono formalmente sia nel vuoto che in presenza di materia quando <math>d \ll r</math>.
 
== Campo elettrico ==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Dipolo_elettrico"