Metodo dei moltiplicatori di Lagrange: differenze tra le versioni

In [[analisi matematica]] e [[programmazione matematica]], il '''metodo dei moltiplicatori di [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]]''' permette di ridurre i [[punto stazionario|punti stazionari]] di una funzione <math>f(\vec x)</math> in ''<math>I''</math> variabili e ''<math>J''</math> vincoli di [[frontiera (topologia)|frontiera]] <math>\vec g(\vec x)= \vec 0</math>, detta obiettivo, a quelli di una terza funzione in ''<math>I+J''</math> variabili non vincolata, detta '''lagrangiana''':

Si consideri il caso bidimensionale. Si vuole massimizzare una ''<math>f''(''x'',''y'')</math> soggetta al vincolo:

ove ''<math>c''</math> è una costante. Si possono visualizzare le [[curva di livello|curve di livello]]<ref>Courant, Richard, Herbert Robbins, and Ian Stewart. ''What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods''. New York: Oxford University Press, 1996. [http://books.google.com/books?id=_kYBqLc5QoQC&pg=PA344&vq=%22contour+line%22&source=gbs_search_r&cad=1_1&sig=ACfU3U2wWEkaeLRCYtZiHbjh_OH7eKgnJQ p. 344.]</ref> della ''<math>f''</math> date da

Questo succede esattamente nei punti in cui la [[componente tangente]] della [[derivata totale]] si annulla: <math>d f_\parallel = 0</math>, cioè nei [[punto stazionario|punti stazionari]] vincolati della ''<math>f''</math> che includono i massimi e minimi locali, assumendo che ''<math>f''</math> sia differenziabile. Nelle equazioni questo succede quando il gradiente della ''<math>f''</math> è [[componente normale|perpendicolare]] al vincolo, o ai vincoli, ovvero quando <math>\nabla f</math> è una [[combinazione lineare]] dei <math>\nabla g_i</math>.

Geometricamente la condizione di tangenza si traduce dicendo che i [[gradiente|gradienti]] della <math> f </math> e della <math> g </math> sono vettori paralleli dove c'è un massimo, visto che i gradienti sono sempre perpendicolari alle curve di livello. Introducendo lo scalare incognito ''λ''<math>\lambda</math>, si deve risolvere il [[sistema di equazioni]]:

per ''λ''<math>\lambda ≠\ne 0</math>; avendo assunto, senza perdita di generalità, <math>c=0</math>.

Una volta che i valori per λ<math>\lambda</math> siano stati determinati, si torna al numero originario di variabili e si possono trovare i punti stazionari della lagrangiana:

Le soluzioni sono ''[[punto stazionario|punti stazionari]]'' della lagrangiana <math>\Lambda</math> e possono essere anche [[punto di sella|punti di sella]], ovvero né massimi né minimi di <math>\Lambda</math> o <math>F</math>. <math>\Lambda</math> è illimitata: dato un punto ''<math>(x,y)''</math> che non giace sul vincolo, facendo il limite per <math>\lambda \to \pm \infty</math> si rende <math>\Lambda</math> arbitrariamente grande o piccola.

Sia l'obiettivo ''<math>f''</math> una funzione definita su '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath>, e siano i [[vincolo|vincoli]] dati da ''g<submath>j</sub>''g_j('''x''') = ''0''</math> (ottenuti da un'equazione del tipo ''h<submath>j</sub>''h_j('''x''') = ''c_{jc_j</submath>'' con ''g<submath>j}''g_j('''x''') = ''h_j''h_j('''x''') - ''c<sub>jc_j</submath>''). Si definisca la '''lagrangiana''', ''Λ''<math>\Lambda</math>, come:

Sia il criterio di ottimizzazione sia i vincoli ''g''<submath>''j''g_j</submath> sono compresi in modo compatto come punti stazionari della lagrangiana:

''λ''<submath>''j''\lambda_j</submath> è la velocità con cui cambia la quantità da ottimizzare come funzione della variabile vincolata. Per esempio, nella [[meccanica lagrangiana]] le equazioni del moto sono ottenute trovando i punti stazionari dell'[[azione (fisica)|azione]], l'integrale nel tempo della differenza tra energia cinetica e potenziale. Dunque la forza su una particella dovuta a un potenziale scalare, '''<math>\mathbf{F''' }=-\nabla −∇''V''</math> può essere interpretata come un moltiplicatore di Lagrange che determina il cambiamento dell'azione (trasferimento di energia potenziale in energia cinetica) conseguente a una variazione della traiettoria vincolata della particella. In economia, il profitto ottimale per un giocatore è calcolato in base a uno spazio di azione vincolato, dove un moltiplicatore di Lagrange indica il rilassamento di un dato vincolo, ad esempio attraverso la corruzione o altri mezzi.

Si voglia massimizzare <math>f(x,y)=x+y</math> col vincolo <math>x^2+y^2-1=0</math>. Il vincolo è la [[circonferenza]] unitaria, e le curve di livello dell'obiettivo sono [[retta|rette]] con pendenza <math>-1</math>: si vede subito graficamente che il massimo viene raggiunto in <math>(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)</math> e il minimo viene raggiunto in <math>(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)</math>.

cioè <math>x=y</math> (<math>x \neq 0</math> altrimenti la <math>(i)</math> diventa <math>1 = 0</math>). Sostituendo nella <math>(iii)</math> si ottiene <math>2x^2=1</math>, cosicché <math>x=\pm \sqrt{2}/2</math> e i punti stazionari sono <math>(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)</math> e <math>(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)</math>. Valutando l'obiettivo <math>x+y</math> su questi si ottiene:

Per tutti gli ''<math>n''</math> da <math>1</math> a ''<math>N''</math>, si impongono le equazioni:

Questo dimostra che tutti i ''p''<submath>''n''p_n</submath> sono uguali perché dipendono soltanto da un parametro comune. Introducendola nell'equazione vincolare, ovvero imponendo

si ottiene: