Costante di Boltzmann: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua2|Da non confondere con la '''[[costante di Stefan-Boltzmann]]''', σ}}
In [[meccanica statistica]] la '''costante di [[Ludwig Boltzmann|Boltzmann]]''', '''''k''<submath>Bk_B</submath>''' (anche indicata con [[Kappa (lettera greca)|κ]]) è una [[Costante fisica|costante dimensionale]] che stabilisce la corrispondenza tra grandezze della [[meccanica statistica]] e grandezze della [[termodinamica]], per esempio tra temperatura ed [[energia termica]] o tra [[probabilità]] di uno stato ed [[entropia (termodinamica)|entropia]] ([[teorema &Eta;]]). Per ragioni storiche, ad esempio anche la [[temperatura assoluta]] è stata definita operativamente, e anche nel [[Sistema Internazionale]] è tradizionalmente misurata con unità proprie (come il [[kelvin]], e il [[rankine]]) sulla base di proprietà notevoli di alcuni materiali (nel caso del kelvin il [[punto triplo]] dell'[[acqua]]). La [[meccanica statistica]] sin dal lavoro pionieristico di [[ludwig Boltzmann|Boltzmann]] ha però dimostrato che la [[temperatura]] è una forma di [[energia termica]], ed è legata all'agitazione termica delle molecole di cui il materiale è composto.
 
== Descrizione ==
 
In effetti la costante di Boltzmann è una costante dimensionale di conversione tra la temperatura espressa nelle unità proprie e la stessa espressa nelle unità dell'energia (nel [[sistema internazionale]], il [[joule]]): nel sistema internazionale è quindi espressa in [[joule|<math>J]]/[[kelvin|K]]</math>, le stesse unità di misura dell'[[Entropia (termodinamica)|entropia]] e della [[capacità termica]].
Il valore della costante dimensionale è esatto<ref name= codata>[http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?k Valore della costante di Boltzmann]</ref>, e figura come una delle sette costanti determinanti del [[Sistema Internazionale]].
:<math>k_\mathrm{B} = 1{,}380\,649\times10^{-23} \mathrm{\ J\,K^{-1}}\ \mathrm{(esatto)} </math>.
 
La costante di Boltzmann nel [[sistema internazionale]] con la temperatura misurata in kelvin sostituisce due costanti empiriche: la [[costante universale dei gas]] ''<math>R''</math> e la [[costante di Avogadro]] ''N''<submath>AN_A</submath>:<ref>{{en}} [http://goldbook.iupac.org/B00695.html IUPAC Gold Book, "Boltzmann constant"]</ref>
:<math>k_\mathrm{B} = \frac{R}{N_\mathrm{A}} </math>
 
==Legge dei gas ideali==
{{vedi anche|legge dei gas ideali#Formulazione semiempirica}}
La costante di Boltzmann, ''k''<submath>Bk_B</submath>, agisce da ponte tra i modelli e le equazioni della fisica che governano il mondo [[Scala macroscopica|macroscopico]] e quelle che regolano il mondo [[Scala microscopica|microscopico]]. Nella sua forma empirica originaria, l'[[equazione di stato dei gas perfetti]] era stata enunciata dicendo che un [[gas ideale]], il prodotto della [[pressione]] ''<math>P''</math> e del [[volume]] ''<math>V''</math> è proporzionale alla [[quantità di sostanza]] ''<math>N''</math> (in [[mole]]) moltiplicata per la [[temperatura assoluta]] ''<math>T''</math>, ovvero con l'equazione:
 
:<math>p V =N R_0R T \,</math>
 
dove ''R<submath>0R</submath>'' è la [[costante dei gas]] (il cui valore è 8,314 462 618...&nbsp;J K<sup>−1</sup> mol<sup>−1</sup> <ref>{{Cita web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?r|titolo=CODATA Value: molar gas constant|sito=physics.nist.gov|accesso=2019-05-28}}</ref>). Questa espressione può essere semplificata notevolmente pur mantenendo tutto il suo contenuto teorico. Innanzitutto si passa ad una descrizione locale dividendo per il volume:
 
:<math>p = n_m R_0R T \,</math>
 
dove ''n<submath>mn_m</submath>'' è la [[densità molare]] (mol/m<sup>3</sup>). Introducendo nell'equazione la [[densità numerica]] ''<math>n''</math>, pari alla densità molare moltiplicata per la [[costante di Avogadro]], si ottiene:
 
:<math>p = n \frac {R_0R}{N_A} T \,</math>
 
In questo modo emerge la costante di Boltzmann:
 
== Equipartizione dell'energia ==
Il [[teorema di equipartizione dell'energia]] afferma che se un ''microsistema'' ha ''<math>f''</math> [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], l'energia termica di questo sistema in condizioni di equilibrio alla [[temperatura assoluta|temperatura]] ''<math>T''</math> è:
:<math> E_\mathrm{K}= \frac{1}{2}\, m \langle v^2 \rangle = \frac{f}{2}\, k_\mathrm{B} \, T</math>
In un [[gas nobile]] alla [[temperatura assoluta|temperatura]] ''<math>T''</math>, dato che ci sono unicamente i tre gradi di libertà traslazionali, l'energia termica è :
 
:<math> E_\mathrm{K} = \frac{3}{2}\, k_\mathrm{B} \, T</math>
dove:
* <math>T</math> è la [[temperatura assoluta]].
 
La costante di Boltzmann è la costante di proporzionalità tra la [[temperatura assoluta|temperatura]] e l'energia termica del sistema. Questo teorema è valido solo nel caso in cui non vi è quantizzazione dell'energia, oppure nel caso in cui la separazione dei livelli energetici sia notevolmente inferiore a ''k<submath>Bk_BT</submath>T''.
Questa stessa espressione può essere ricavata dalla [[teoria cinetica dei gas]] partendo dalla relazione:
:<math> p = \frac{2}{3} \, n \langle v^2 \rangle </math>
La [[pressione]] esercitata da un gas su una parete di un recipiente cubico di lato ''<math>l''</math> è data da:
:<math>p =\frac{1}{l^2}\sum_{k=1}^{N/3}f_k
=\frac{1}{l^2}\sum_{k=1}^{N/3}\frac{\Delta p_k} {\Delta t}</math>
== Entropia di Boltzmann==
[[File:Zentralfriedhof Vienna - Boltzmann.JPG|thumb|Tomba di [[Ludwig Boltzmann|Boltzmann]] a [[Vienna]], con il busto dello scienziato e in alto la formula dell'entropia.]]
In meccanica statistica l'[[entropia (termodinamica)|entropia]] viene definita come il prodotto fra la costante dimensionale di Boltzmann e il [[logaritmo naturale]] di <math>W</math>, il numero di microstati coerenti con le condizioni al contorno del sistema:<ref name= Silv137>{{cita libro | cognome= Silvestroni | nome= Paolo | titolo= Fondamenti di chimica | editore= CEA | città= | anno= 1996 | ed= 10 |p= 137 | isbn= 88-408-0998-8 | cid= Silvestroni}}</ref>
:<math>S=k~\ln \ W </math>
 
 
== Storia ==
[[Ludwig Boltzmann|Boltzmann]] fu il primo a mettere in relazione entropia e probabilità nel [[1877]], ma sembra che tale relazione non sia mai stata espressa con una specifica costante finché [[Max Planck|Planck]], nel [[1900]] circa introdusse per primo la costante <math>k</math>, calcolandone il valore preciso, e dedicandola a Boltzmann.<ref name="Planck01">{{Cita pubblicazione|nome= Max |cognome= Planck |wkautore= Max Planck |titolo= Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum |url= http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/historic-papers/1901_309_553-563.pdf |rivista= Annalen der Physik |anno= 1901 |volume= 309 |numero= 3 |pp= 553–63 | doi = 10.1002/andp.19013090310|bibcode = 1901AnP...309..553P }}.".</ref> Prima del [[1900]], le equazioni in cui ora è presente la costante di Boltzmann non erano scritte utilizzando l'energia delle singole molecole, ma presentavano la [[costante universale dei gas]] ''<math>R''</math> e l'energia macroscopica del sistema.
 
Infatti l'equazione '''''<math>S'' =k_B\ln ''k''<sub>BW</submath> log ''W''''' presente sulla tomba di Boltzmann è dovuta a Planck, che la introdusse nello stesso articolo in cui introdusse la [[costante di Planck]] ''<math>h''</math>.<ref>[http://www.bourbaphy.fr/duplantier2.pdf Duplantier, Bertrand (2005). "Le mouvement brownien, 'divers et ondoyant'" Brownian motion, 'diverse and undulating' (PDF). Séminaire Poincaré 1 : 155–212]</ref> Come Planck ha scritto nella sua ''[[premio Nobel|Nobel lecture]]'' nel [[1920]]:<ref>[https://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1918/planck-lecture.html Planck, Max (2 June 1920), The Genesis and Present State of Development of the Quantum Theory (Nobel Lecture)]</ref>
{{citazione|Questa costante è spesso chiamata '''costante di Boltzmann''', sebbene, per quanto ne so, Boltzmann non l'ha mai introdotta — una situazione particolare che può essere spiegata con il fatto che Boltzmann, come risulta dalle sue esternazioni occasionali, non ha mai pensato alla possibilità di effettuare una misurazione esatta della costante.}}