Operatore momento angolare totale: differenze tra le versioni

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{{NN|fisica|settembre 2020}}
{{C|Scritto in forma "da libro di testo" ("vediamo...", "come abbiamo visto..."); da riscrivere in forma enciclopedica. Inoltre, entra troppo nel dettaglio delle dimostrazioni; bisognerebbe riportare solo i risultati e al limite i passaggi più rilevanti, lasciando all'apparato bibliografico il compito di scendere nel dettaglio.|fisica|maggio 2013}}
In [[meccanica quantistica]], l''''operatore''' '''momento angolare totale''' è responsabile delle [[Rotazione (matematica)|rotazioni]] nello spazio. Esso ha un significato più esteso rispetto al [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]] <math>\hat {\mathbf{L}} = \hat {\mathbf{r}} \times \hat {\mathbf{p}} </math> perché si generalizza anche al [[Spin|momento angolare di spin]] e soprattutto è usato nella [[composizione di operatori momento angolare]], essendo valido come somma di più momenti angolari e di diversi tipi.
 
SiÈ puòanche possibile dimostrare che il momento angolare totale <math>\hat{ \mathbf{J}}</math> è il generatore delle rotazioni nello spazio, ma questo argomento è proposto per il momento angolare orbitale a cui si rimanda.
 
Formalmente, poi, il momento angolare totale ha le stesse regole del momento angolare orbitale e dello spin, per cui con <math>\hat {\mathbf{J}}</math> possiamosi può indicare sia <math>\hat{ \mathbf{L}}</math>, sia <math>\hat {\mathbf{S}}</math> e anche una composizione di momenti <math>\hat {\mathbf{J}} = \hat {\mathbf{L}} + \hat {\mathbf{S}}</math> oppure <math>\hat {\mathbf{J}} = \hat {\mathbf{L}}_1 + \hat {\mathbf{L}}_2</math> o ancora <math>\hat {\mathbf{J}} = \hat {\mathbf{S}}_1 + \hat{ \mathbf{S}}_2</math>.
 
==Le proprietà dell'operatore momento angolare totale==
L'operatore momento angolare totale, analogamente al [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]], genera le rotazioni lungo un asse: la [[funzione d'onda]] <math>\psi (x)</math> ruotata di un angolo <math>\phi</math> attorno all'asse ''<math>z''</math>, diventa:
 
:<math>\psi' (x) = \hat R_z(\phi) \psi (x) = e^{i \phi J_z} \psi (x)</math>.
 
Per una rotazione infinitesima si ha:
 
:<math>\psi' (x) = \psi (x) + i d\phi J_z \psi (x) \ </math>.
 
===Proprietà di commutazione===
{{Vedi anche|Commutatore (matematica)}}
Vediamo leLe proprietà di commutazione analogamente a quanto fatto per l'operatore momento angolare orbitaletotale sono:
 
:<math>[\hat J_x, \hat J_y] = i \hbar \hat J_z</math>
:<math>[\hat J_y, \hat J_z] = i \hbar \hat J_x</math>
 
:<math>[\hat J_z, \hat J_x] = i \hbar \hat J_y</math>,
 
dove <math>\hat J_x, \hat J_y, \hat J_z</math> sono ovviamente le proiezioni del momento angolare totale lungo gli [[assi cartesiani,]]; in forma compatta è possibile scrivere:
 
:<math>[\hat J_i, \hat J_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat J_k</math>,
 
dove abbiamo<math>\varepsilon_{ijk}</math> usatoè il [[tensore di Levi-Civita]]. Costruiamo l'operatore <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>, cioè l'operatore:
 
:Partendo dal momento angolare totale, è possibile costruire l'operatore <math>\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_{x}^{2} + \hat J_{y}^{2} + \hat J_{z}^{2}</math>.
 
VediamoTale comeoperatore commuta con le componenti del momento angolare totale; infatti:
 
\left:<math>[\hat J_z, \hat {\mathbf{J}}^2\right] = 0</math>
:<math>
\begin{align}
\left[\hat J_z, \hat {\mathbf{J}}^2\right]
&= [\hat J_z, \hat J_{x}^{2} + \hat J_{y}^{2} + \hat J_{z}^{2}] \\
&= [\hat J_z, \hat J_{x}^{2}] + [\hat J_z, \hat J_{y}^{2}] + [\hat J_z, \hat J_{z}^{2}] \\
&= \hat J_x [\hat J_z, \hat J_x] + [\hat J_z , \hat J_x] \hat J_x + \hat J_y [\hat J_z, \hat J_y] + [\hat J_z, \hat J_y] \hat J_y \\
&= i \hbar \hat J_x \hat J_y + i \hbar \hat J_y \hat J_x - i \hbar \hat J_y \hat J_x - i \hbar \hat J_x \hat J_y \\
&= 0 \\
\end{align} </math>
e analogamente:
 
:<math>[\hat J_x,\hat {\mathbf{J}}^2] = 0</math>
 
:<math>[\hat J_y,\hat {\mathbf{J}}^2] = 0</math>.
 
È rilevante il comportamento delle componenti del momento angolare totale con gli [[Operatore posizione|operatori di posizione]] e [[Operatore impulso|impulso]]; per quanto riguarda l'operatore di posizione è possibile determinare le seguenti relazioni:
cioè le componenti del momento angolare commutano con l'operatore <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>.
 
Vediamo come si comportano i momenti angolari con gli [[Operatore posizione|operatori di posizione]] e [[Operatore impulso|impulso]] trascurando i calcoli espliciti che sono simili a quelli del [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]]:
 
:<math>[\hat J_x, \hat x] = 0 </math>
:<math>[\hat J_x, \hat y] = i \hbar \hat z</math>
 
:<math>[\hat J_x, \hat z] = -i \hbar \hat y</math>.
 
Allo stesso modo si possono ottenere le analoghe relazioni con <math>\hat J_y</math> ed <math>\hat J_z</math>,; in generale si ha che la componente del momento angolare su un asse commuta soltanto con la coordinata di quell'asse,. inIn forma compatta si ha:
 
:<math>[\hat J_i, \hat x_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat x_k</math>,
 
dove <math>\hat x_j = (\hat x, \hat y, \hat z)</math> e <math>\varepsilon_{ijk}</math> è il [[tensore di Levi-Civita]], che è uguale a <math>+1</math> per permutazioni pari degli indici, <math>-1</math> per permutazioni dispari e <math>0</math> se <math>i=j</math>.
 
Per quanto riguarda le commutazioni con gli impulsi vale esattamente lalo stessastesso cosadiscorso:
 
:<math>[\hat J_i, \hat p_j] = i \hbar \varepsilon_{ijk} \hat p_k</math>.
 
==Spettro dell'operatore momento angolare totale==
{{vedi anche|Spettro (matematica)}}
AbbiamoSi è visto che le componenti del momento angolare non commutano tra loro, ma tuttitutte singolarmente commutano con l'operatore momento angolare al quadrato. PossiamoÈ possibile scegliere una sola componente (per esempio <math>\hat J_z</math>) che commuta con <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>,; cosìin questo modo lo stato, che è [[autostato]] di entrambi gli operatori, lopuò essere chiamiamochiamato <math>|j,j_z \rangle</math>. DobbiamoSi possono trovare quali sono gli [[Autovalore|autovalori]] <math>a, b</math> (a volte più propriamente indicati con <math>j</math>, <math>j_z</math>, oppure con <math>j</math>, <math>m_j</math>) simultanei di questi operatori:
 
:<math>\begin{cases} \hat{ \mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = \hbar^2 a |j,m_j \rangle \\
</math>
 
Per fare questo introduciamoè necessario introdurre due operatori, detti ''operatori di scala'':
 
:<math>\hat J_{\pm} = \hat J_x \pm i \hat J_y</math>,
 
che sono uno il [[complesso coniugato]] dell'altro e non sono [[Matrice hermitiana|hermitiani]]. Questi operatori hanno le seguenti proprietà:
 
:<math>[\hat J_+ , \hat J_-] = 2 \hbar \hat J_z</math>
:<math>[\hat J_z, \hat J_{\pm}] = \pm \hbar \hat J_{\pm}</math>
 
:<math>[\hat{ \mathbf{J}}^2, \hat J_{\pm}] = 0</math>.
 
L'operatore <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> può essere espresso in termini di <math>\hat J_z</math> e operatori di scala <math>\hat J_{\pm}</math>, infattinel seguente modo:
 
:<math>\hat J_- {\hat J_+mathbf{J}}^2 = \hat J_{+}^{\dagger}- \hat J_+ =+ \hat J_{\mathbf{J}z}^{2} -+ \hat J_z (\hat J_{z} + \hbar)</math>.
 
che comeSe si vedefa agire <math>\hat L_zJ_z</math> èsullo diagonale[[stato ovviamente nella basequantico|stato]] <math>\hat J_{\pm}|j, m_j \rangle</math>, mentresi ottiene:
:<math>\hat J_+ \hat J_- = \hat J_{-}^{\dagger} \hat J_- = \hat {\mathbf{J}}^{2} - \hat J_z (\hat J_{z} - \hbar)</math>
 
:<math>\hat{ \mathbf{J}}^2J_z \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \hathbar (b J_{\pm} \hat{1) \mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = \hbar^2 a left(\hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right)</math>.
dunque:
 
cioè applicandoApplicando <math>\hat J_+</math> l'autovalore di <math>\hat J_z</math> (cioè ''<math>b''</math>) aumenta di <math>\hbar</math>,; viceversa applicando <math>\hat J_-</math>, l'autovalore di <math>\hat J_z</math> viene diminuito di <math>\hbar</math>, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> si ha:
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_+ \hat J_- + \hat J_{z}^{2} - \hat J_z \hbar = \hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hat J_z \hbar</math>
 
:<math>\hat { \mathbf{J}}^2 = \hat J_+left( \hat J_- + {\hat J_{z}^{2pm} -|j,m_j \hat J_zrangle \hbarright) = \hathbar^2 J_-a \hat J_+ + {\hat J_{z}^{2pm} +|j,m_j \hat J_z \hbarrangle</math>,
Il significato di <math>\hat J_{\pm}</math> è analogo a quello visto nel [[Momento angolare orbitale (meccanica quantistica)|momento angolare orbitale]]. Vediamo come <math>\hat J_z</math> agisce sullo [[stato quantico|stato]] <math>\hat J_{\pm}|j,m_j \rangle</math>:
 
:<math>\hat J_z \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \left([\hat J_z, \hat J_{\pm}] + \hat J_{\pm} \hat J_z \right) |j,m_j \rangle = (\hat J_{\pm} \hat J_z \pm \hbar \hat J_{\pm} ) |j , m_j \rangle = \hbar (b \pm 1) \left(\hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right)</math>
 
cioè applicando <math>\hat J_+</math> l'autovalore di <math>\hat J_z</math> cioè ''b'' aumenta di <math>\hbar</math>, viceversa applicando <math>\hat J_-</math>, l'autovalore di <math>\hat J_z</math> viene diminuito di <math>\hbar</math>, da cui il nome di operatori di scala. Invece applicando <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>:
 
:<math>\hat{ \mathbf{J}}^2 \left( \hat J_{\pm} |j,m_j \rangle \right) = \hat J_{\pm} \hat{ \mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = \hbar^2 a \hat J_{\pm}|j,m_j \rangle</math>
 
cioè l'applicazione degli operatori <math>\hat J_{\pm}</math> cambia l'[[autovalore]] di <math>\hat J_z</math>, ma non di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>.
 
Per ovvi motivi di proiezione, laLa relazione che lega <math>\hat{ \mathbf{J}}^2</math> e <math>\hat J_z</math> è:
 
:<math>\langle j, m_j | \left( \hat{ \mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} \right) |j,m_j \rangle = \left \langle \hat {\mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} \right \rangle \ge 0</math>.
 
Ciò implica che gli autovalori della proiezione del momento angolare totale <math>b</math> non possono superare quelli di <math>\hat{ \mathbf{J}}^2</math>, cioè <math>a</math>:
ciò implica che gli autovalori di questi operatori devono soddisfare:
 
:<math>-\sqrt a \le b \le \sqrt a</math>.
 
cioè gli autovalori della proiezione del momento angolare totale ''b'' non possono superare quelli di <math>\hat{ \mathbf{J}}^2</math>, ''a''. Quindi l'autovalore di <math>\hat J_z</math> è limitato inferiormente e superiormente dai valori che può prendere <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>. ChiamiamoPosti <math>b_{min}</math> il valore minimo e <math>b_{max}</math> il valore massimo che può assumere <math>\hat J_z</math>., Applicandoe applicando successivamente gli operatori di scala <math>\hat J_+, \hat J_-</math>, sideve capisceessere che deve essere:
 
:<math>\hat J_+ |a,b_{max} \rangle = 0\;\;</math> e <math>\;\;\hat J_- |a,b_{min} \rangle = 0</math>.
 
:Se si applica <math>\hat J_-{\mathbf{J}}^2</math> a <math>|a,b_{minmax} \rangle = 0</math> si ottiene che:
 
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 |a,b_{max} \rangle = (\hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hbar \hat J_z) |a, b_{max} \rangle = (b_{max}^{2} \hbar^2+ b_{max} \hbar^2 )|a,b_{max} \rangle</math>,
Ora applichiamo
 
da cui:
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 |a,b_{max} \rangle = (\hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hbar \hat J_z) |a, b_{max} \rangle = (b_{max}^{2} \hbar^2+ b_{max} \hbar^2 )|a,b_{max} \rangle</math>
 
:<math>\hbar ^2 a = (b_{max}^{2} + b_{max}) \hbar^2 = \hbar^2 b_{max} (b_{max} + 1)</math>.
cioè:
 
DataQuindi l'autovalore di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> è <math>a = b_{max}(b_{max} + 1)</math>volte <math>\hbar^2</math>. A causa della limitatezza di <math>b</math> e data la simmetria di cui <math>\hat{J_z}</math>deve godere rispetto al piano <math>xy</math>, si ha che <math>b</math> deve essere necessariamente o [[Numero intero|intero]] o [[semintero]]. Vi sono pertanto <math>(2b_{max} +1)</math>valori di ''<math>b''</math>, cioè <math>b = \{-b_{max}, -b_{max}+1, \dots , b_{max} - 1, b_{max} \}</math>.
:<math>\hbar ^2 a = (b_{max}^{2} + b_{max}) \hbar^2 = \hbar^2 b_{max} (b_{max} + 1)</math>
 
QuindiPer l'autovaloregli autovalori di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> è <math>a = b_{max}(b_{max} + 1)</math>volte <math>\hbar^2</math>. Ora per quantosi dettoottiene:
 
:<math>-\sqrthat a < -b_{max\mathbf{J}}^2 |j,m_j \lerangle b= \lehbar^2 b_{max}j(j+1) <|j,m_j \sqrt arangle</math>,
 
e per gli autovalori di <math>\hat J_z</math>:
Data la simmetria di cui <math>\hat{J_z}</math>deve godere rispetto al piano <math>xy</math>, si ha che b deve essere necessariamente o intero o semintero. Vi sono pertanto <math>(2b_{max} +1)</math>valori di ''b'', cioè <math>b = \{-b_{max}, -b_{max}+1, \dots , b_{max} - 1, b_{max} \}</math>.
 
:<math>\hat J_z |j,m_j \rangle = m_j \hbar |j,m_j \rangle</math>,
Si ottiene quindi infine per gli autovalori di <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math>
 
dove <math>j </math> è il [[numero quantico]] del momento angolare totale, che ricordiamo può essere intero o semintero, ed <math>m_j = \{-j, -j+1, \dots , j - 1, j \}</math> è il [[numero quantico]] della proiezione del momento angolare totale.
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 |j,m_j \rangle = \hbar^2 j(j+1) |j,m_j \rangle</math>
 
e per gli autovalori di <math>\hat J_z</math>
 
:<math>\hat J_z |j,m_j \rangle = m_j \hbar |j,m_j \rangle</math>
 
dove <math>j </math> è il [[numero quantico]] del momento angolare totale, che ricordiamo può essere intero o semintero, ed <math>m_j = \{-j, -j+1, \dots , j - 1, j \}</math> è il [[numero quantico]] della proiezione del momento angolare totale.
 
== Elementi di matrice ==
VediamoPer comeanalizzare sonola fattistruttura esplicitamente ledelle matrici dei momenti angolari., si Assumiamoassuma che itali momenti angolari siano calcolati sugli autostati <math>|j,j_m \rangle</math> già normalizzati,; di alloraconseguenza in questa base di autostati sia <math>\hat {\mathbf{J}}^2</math> sia <math>\hat J_z</math> sono diagonali:
 
:<math>\langle j', m'_j | \hat {\mathbf{J}}^2 |j, m_j \rangle = j (j+1) \hbar^2 \delta_{j'j} \delta_{m'_j m_j}</math>
 
:<math>\langle j', m'_j | \hat J_z |j, m_j \rangle = m_j \hbar \delta_{j'j} \delta_{m'_j m_j}</math>.
 
Gli elementi di matrice degli operatori a scala sono dati da:
 
:<math>\hat J_+ |j,m_j \rangle = c_+ |j, m_j+1 \rangle</math>,
 
dove <math>c_+</math> è un coefficiente. Utilizzando l'espressioneuguaglianza:
 
:<math>\hat {\mathbf{J}}^2 = \hat J_- \hat J_+ + \hat J_{z}^{2} + \hat J_z</math>,
 
ricaviamoe ricavando l'espressione di <math>\hat J_+</math> e di <math>\hat J_-</math>, eper <math> \hat J_+</math> si ha calcoliamoche:
 
:<math>\hat J_{|c_+}|^{\dagger} \hat J_+2 = \hat {\mathbf{J}}hbar^2 [j (j+1) - \hat J_m_{zj}^{2} - \hbar \hat J_z m_j]</math>.
 
:<math>\hat J_{-}^{\dagger} \hat J_- = \hat {\mathbf{J}}^2 - \hat J_{z}^{2} + \hbar \hat J_z </math>
 
e quindi per <math>\hat J_+</math>:
 
:<math>|c_+|^2 = \langle \hat J_{+}^{\dagger} \hat J_{+} \rangle = \hbar^2 [j (j+1) - m_{j}^{2} - m_j]</math>
 
In definitiva:
 
:<math>\hat J_+{\pm} |j, m_j \rangle = \hbar \sqrt{(j -\mp m_j) (j +\pm m_j + 1)} |j, m_j +\pm 1 \rangle</math>,
 
e gli elementi di matrice sono:
:<math>\hat J_- |j, m_j \rangle = \hbar \sqrt{(j + m_j) (j - m_j + 1)} |j, m_j - 1 \rangle</math>
 
:<math>\langle j', m'_j |\hat J_-{\pm} |j, m_j \rangle = \hbar \sqrt{(j +\mp m_j) (j -\pm m_j + 1)} |\hbar \delta_{j,'j} \delta_{m'_j m_j -\pm 1 \rangle}</math>.
gli elementi di matrice sono:
 
ePer quindiesempio per <math>\hat J_+j=1</math> si ottiene:
:<math>\langle j', m'_j |\hat J_{\pm} |j, m_j \rangle = \sqrt{(j \mp m_j) (j \pm m_j+1)} \hbar \delta_{j'j} \delta_{m'_j m_j\pm 1}</math>
 
Per esempio per <math>j=1</math> possiamo esplicitare:
 
:<math>\hat J_+ = \hbar \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
 
:<math>\hat J_- = \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}</math>
 
:<math>\hat J_z = \hbar \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}</math>
 
che come si vede <math>\hat L_z</math> è diagonale ovviamente nella base <math>|j, m_j \rangle</math>, mentre:
 
:<math>\hat J_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
:<math>\hat J_y = \frac{\hbar}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math>
 
:<math>\hat J_+J_z = \hbar \begin{pmatrix} 01 & \sqrt{2}0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2}0 \\ 0 & 0 & 0-1 \end{pmatrix}</math>.
non lo sono.
 
 
Per <math>j = \frac{1}{2}</math> le matrici prendono la forma delle [[matrici di Pauli]] a due componenti:
:<math>\hat J_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}</math>
 
:<math>\hat J_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math>.
 
Per <math>j = \frac{3}{2}</math> le matrici prendono la forma:
:<math>\hat J_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \sqrt{3} & 0 & 0 \\ i \sqrt{3} & 0 & -2i & 0 \\ 0 & 2i & 0 & -i\sqrt{3} \\ 0 & 0 & i \sqrt{3} & 0 \end{pmatrix}</math>
 
:<math>\hat J_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}</math>.
 
==Bibliografia==