Termine spettroscopico: differenze tra le versioni

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==Notazione==
Il termine spettroscopico ha la forma <ref>{{Cita libro|titolo=Introduction to the Physics of Matter|cognome=Manini|nome=Nicola|editore=[[Springer (azienda)|Springer]]|isbn=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p. 28</ref>
:
 
::<math>{}^{2S+1}\!L_{J}</math>
:dove
: ''<math>L''</math> è il [[numero quantico azimutale|numero azimutale]], in [[notazione spettroscopica]].
: ''<math>S''</math> è lo [[numero quantico di spin]], 2''S''<math>2s+1</math> è la [[Molteplicità di spin|degenerazione di spin,]] cioè il massimo numero di possibili stati ''<math>J''</math> per una data configurazione di ''<math>L''</math> e ''<math>S''</math>.
:''<math>J''</math> è il numero del [[Momento angolare totale (meccanica quantistica)|momento angolare totale]].
I primi <math>17</math> simboli <math>L</math> sono:
{| align=center
| align=center width=30px | <math>L</math> =
| align=center width=30px | <math>0</math>
| align=center width=30px | <math>1</math>
| align=center width=30px | <math>2</math>
| align=center width=30px | <math>3</math>
| align=center width=30px | <math>4</math>
| align=center width=30px | <math>5</math>
| align=center width=30px | <math>6</math>
| align=center width=30px | <math>7</math>
| align=center width=30px | <math>8</math>
| align=center width=30px | <math>9</math>
| align=center width=30px | <math>10</math>
| align=center width=30px | <math>11</math>
| align=center width=30px | <math>12</math>
| align=center width=30px | <math>13</math>
| align=center width=30px | <math>14</math>
| align=center width=30px | <math>15</math>
| align=center width=30px | <math>16</math>
| align=left |...
|-
|
| align=center width=30px | <math>S</math>
| align=center width=30px | <math>P</math>
| align=center width=30px | <math>D</math>
| align=center width=30px | <math>F</math>
| align=center width=30px | <math>G</math>
| align=center width=30px | <math>H</math>
| align=center width=30px | <math>I</math>
| align=center width=30px | <math>K</math>
| align=center width=30px | <math>L</math>
| align=center width=30px | <math>M</math>
| align=center width=30px | <math>N</math>
| align=center width=30px | <math>O</math>
| align=center width=30px | <math>Q</math>
| align=center width=30px | <math>R</math>
| align=center width=30px | <math>T</math>
| align=center width=30px | <math>U</math>
| align=center width=30px | <math>V</math>
| align=left | <small>''(continuano in ordine alfabetico)''</small>
|}
Il termine spettroscopico viene usato anche per sistemi composti come [[Nucleo atomico|nuclei atomici]] o [[Molecola|molecole]]. Nel caso degli elettroni in un atomo, per una data configurazione elettronica si ha:
 
* Una combinazione dei possibili valori di ''<math>S''</math> e ''<math>L''</math> è chiamata ''termine'', sinonimo di livello energetico{{Chiarire|2=In contrasto col punto successivo}}, ed ogni termine può assumere <math>(2''S''2S+1)(2''L''2L+1)</math> valori, detti microstati.
* Una combinazione dei possibili valori di ''<math>S''</math>, ''<math>L''</math> e ''<math>J''</math> è chiamata ''livello'', ed ogni livello può assumere <math>(2''J''2J+1)</math> microstati associati al termine corrispondente.
* Una combinazione di ''<math>L'', ''S'', ''J''</math> e ''M<submath>JM_J</submath>'' determina univocamente un singolo stato.
 
==Grado di parità ==
:<math>P=(-1)^{\sum_i l_i}</math>
 
dove ''l<submath>il_i</submath>'' è il numero quantico azimutale del singolo elettrone.<br>
 
Nel caso sia dispari, la parità del termine spettroscopico è indicata dall'apice "<math>o</math>", altrimenti l'apice è omesso <ref>{{Cita libro|titolo=Introduction to the Physics of Matter|cognome=Manini|nome=Nicola|editore=Springer|isbn=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p. 58</ref>
 
:<math>{}^2\!\mathrm P_{1/2}^o</math> ha parità dispari, <math>{}^3\!\mathrm P_0</math> ha parità pari.
 
In alternativa la parità può essere indicata con i pedici "<math>g</math>" o "<math>u</math>", che indicano rispettivamente ''gerade'' (termine [[Lingua tedesca|tedesco]] che sta per "pari") e ''ungerade'' ("dispari"):
 
:<math>{}^2\!\mathrm P_{1/2,u}</math> ha parità dispari, <math>{}^3\!\mathrm P_{0,g}</math> ha parità pari.
 
==Stato fondamentale==
Il termine spettroscopico dello stato fondamentale è quello dello stato con massimi ''<math>S''</math> e ''<math>L''</math>.
# Considerata la configurazione elettronica più stabile, le shell complete non contribuiscono al momento angolare totale. Se tutti le shell sono complete il termine spettroscopico è <math>{}^1\!S_0</math>.
# Gli elettroni si distribuiscono seguendo il [[principio di esclusione di Pauli]], e riempiono gli orbitali partendo da quelli con il massimo [[numero quantico magnetico]] ''m<submath>lm_l</submath>'' con un solo elettrone. Si assegna il massimo valore del numero quantico di spin ''m<submath>sm_s</submath>'' ad ogni orbitale, ovvero <math>+1/2</math>. Quando tutti gli orbitali hanno un elettrone essi vengono completati con il secondo elettrone di spin <math>-1/2</math> con lo stesso metodo.
# Lo spin totale ''<math>S''</math> è pari alla somma degli ''m<submath>sm_s</submath>'' di ogni elettrone. Il momento angolare orbitale totale ''<math>L''</math> è pari alla somma degli ''m<submath>lm_l</submath>'' di ogni elettrone.
# Il momento angolare totale è pari a <math>J = |L - S|</math> se la shell è meno di metà completa, <math>J = L + S</math> se la shell è più di metà completa. Se la shell è esattamente riempita a metà <math>L</math> è nullo e <math>J = S</math> (terza [[Regole di Hund|regola di Hund]])<ref>{{Cita libro|titolo=Introduction to the Physics of Matter|cognome=Manini|nome=Nicola|editore=Springer|isbn=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p. 64</ref>.
 
==Generalizzazione==
Per calcolare il termine spettroscopico di una data configurazione elettronica si procede nel modo seguente<ref>{{Cita libro|titolo=Elementi di Struttura della Materia|cognome=Franchetti|nome=Simone|editore=Zanichelli|isbn=88-08-06252-X}} cap. 5</ref>:
 
* Si calcola il numero ''<math>N''</math> di possibili microstati di una data configurazione elettronica, si riempiono parzialmente le subshell e per un dato numero quantico orbitale ''<math>l''</math>. Il numero totale di elettroni che possono essere disposti è ''<math>t'' = 2(2''l''2l+1)</math>. Se vi sono ''<math>e''</math> elettroni in una data subshell il numero di possibili microstati è:<ref>{{Cita libro|titolo=Introduction to the Physics of Matter|cognome=Manini|nome=Nicola|editore=Springer|isbn=978-3-319-14381-1|lingua=en}} p. 62</ref>
 
::<math>N= {t \choose e} = {t! \over {e!\,(t-e)!}}.</math>
 
:Si prenda ad esempio la configurazione elettronica del [[carbonio]]: 1s<supmath>1s^2</sup> 2s<sup>^2</sup> 2p<sup>^2</supmath>. Dopo aver rimosso le subshell piene vi sono due elettroni nel livello <math>p \;(''l'' = 1)</math>, così che si hanno:
::<math>N = {6! \over {2!\,4!}}=15</math>
:differenti microstati.
 
* Si disegnano quindi nel modo seguente i possibili microstati e si calcola ''M<submath>LM_L</submath>'' e ''M<submath>SM_S</submath>'' per ciascuno di essi, con <math>M=\sum_{i=1}^e m_i</math>, dove ''m<submath>im_i</submath>'' è o ''m<submath>lm_l</submath>'' ooppure ''m<submath>sm_s</submath>'' per l'<math>i</math>-esimo elettrone e ''M''<submath>M_{L, S}</submath> rappresenta rispettivamente il ''M<submath>LM_L</submath>'' o il ''M<submath>SM_S</submath>'' risultante:
:{| cellspacing="0"
|-
| &nbsp;
! colspan="3" align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | ''m<submath>lm_l</submath>''
| colspan="2" | &nbsp;
|-
! style="border-bottom: 2px solid windowtext" | &nbsp;
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | <math>+1</math>
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | <math>0</math>
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext; border-right: 2px solid windowtext" | −1<math>-1</math>
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | ''M<submath>LM_L</submath>''
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | ''M<submath>SM_S</submath>''
|-
| rowspan="3" style="border-bottom: 1px solid windowtext"| tutti "su"
| align="center" | ↑
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" |
| align="center" | <math>+1</math>
| align="center" | <math>+1</math>
|-
| align="center" | ↑
| align="center" |
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | ↑
| align="center" | <math>0</math>
| align="center" | <math>+1</math>
|-
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext" |
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext" | ↑
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext; border-right: 2px solid windowtext" | ↑
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext" | −1<math>-1</math>
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext" | <math>+1</math>
|-
| rowspan="3" style="border-bottom: 1px solid windowtext" | tutti "giù"
| align="center" | ↓
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" |
| align="center" | <math>+1</math>
| align="center" | −1<math>-1</math>
|-
| align="center" | ↓
| align="center" |
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | ↓
| align="center" | <math>0</math>
| align="center" | −1<math>-1</math>
|-
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext" |
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext" | ↓
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext; border-right: 2px solid windowtext" | ↓
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext" | −1<math>-1</math>
| align="center" style="border-bottom: 1px solid windowtext" | −1<math>-1</math>
|-
| rowspan="9" | uno "su" <p>uno "giù"</p>
| align="center" |
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" |
| align="center" | <math>+2</math>
| align="center" | <math>0</math>
|-
| align="center" | ↑
| align="center" | ↓
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" |
| align="center" | <math>+1</math>
| align="center" | <math>0</math>
|-
| align="center" | ↑
| align="center" |
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | ↓
| align="center" | <math>0</math>
| align="center" | <math>0</math>
|-
| align="center" | ↓
| align="center" | ↑
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" |
| align="center" | <math>+1</math>
| align="center" | <math>0</math>
|-
| align="center" |
| align="center" | ↑↓
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" |
| align="center" | <math>0</math>
| align="center" | <math>0</math>
|-
| align="center" |
| align="center" | ↑
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | ↓
| align="center" | −1<math>-1</math>
| align="center" | <math>0</math>
|-
| align="center" | ↓
| align="center" |
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | ↑
| align="center" | <math>0</math>
| align="center" | <math>0</math>
|-
| align="center" |
| align="center" | ↓
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | ↑
| align="center" | −1<math>-1</math>
| align="center" | <math>0</math>
|-
| align="center" |
| align="center" |
| align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | ↑↓
| align="center" | −2<math>-2</math>
| align="center" | <math>0</math>
|}
 
* Si conta quindi il numero di microstati per ogni combinazione di ''M<submath>LM_L-M_S</submath>''—''M<sub>S</sub>''
:{| cellspacing="0"
|-
| colspan="2" | &nbsp;
! colspan="3" align="center" | ''M<submath>SM_S</submath>''
|-
! colspan="2" | &nbsp;
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | <math>+1</math>
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | <math>0</math>
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | −1<math>-1</math>
|-
! rowspan="5" valign="center" | ''M<submath>LM_L</submath>''
! align="center" width="40px" style="border-right: 2px solid windowtext" | <math>+2</math>
|
| align="center" | <math>1</math>
|
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | <math>+1</math>
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" | <math>2</math>
| align="center" | <math>1</math>
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | <math>0</math>
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" | <math>3</math>
| align="center" | <math>1</math>
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | −1<math>-1</math>
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" | <math>2</math>
| align="center" | <math>1</math>
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | −2<math>-2</math>
| align="center" |
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" |
|}
 
* Si estrae la più piccola tabella rappresentante ogni possibile termine. Ogni tabella ha dimensione <math>(2''L''2L+1)(2''S''2S+1)</math> e tutte le sue entrate saranno <math>1</math>. La prima ad essere estratta corrisponde a ''M<submath>LM_L</submath>'' che varia tra −2<math>-2</math> a <math>+2</math> (cioè ''<math>L'' = 2</math>), con un solo valore per ''M<submath>SM_S</submath>'' (cioè ''<math>S'' = 0</math>): questo corrisponde al termine <supmath>1^1D</supmath>D. Il resto della tabella è 3×3. Si estrae quindi la seconda tabella, rimuovendo le entrate per ''M<submath>LM_L</submath>'' e ''M<submath>SM_S</submath>'', entrambe variano tra −1<math>-1</math> a <math>+1</math> (cioè ''<math>S'' = ''L'' = 1</math>, il termine <supmath>3^3P</supmath>P). La restante parte della tabella è 1×1, con ''<math>L'' = ''S'' = 0</math>, cioè il termine <supmath>1^1S</supmath>S.
:{|
|-
| width="150px" |
{| cellspacing="0"
|+ <p align="center">''<math>\mathbf{S''=0, ''\;L''=2, ''\;J''=2 <sup>1</sup>D<sub>2</sub>}</pmath>
|+ <p align="center"><math>\mathbf{^1D_2}</math>
|-
| colspan="2" | &nbsp;
! align="center" | ''M<submath>sM_s</submath>''
|-
! colspan="2" | &nbsp;
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | <math>0</math>
|-
! rowspan="5" valign="center" | ''M<submath>lM_l</submath>''
! align="center" width="40px" style="border-right: 2px solid windowtext" | <math>+2</math>
| align="center" | <math>1</math>
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | <math>+1</math>
| align="center" | <math>1</math>
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | <math>0</math>
| align="center" | <math>1</math>
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | −1<math>-1</math>
| align="center" | <math>1</math>
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | −2<math>-2</math>
| align="center" | <math>1</math>
|}
| width="250px" |
{| cellspacing="0"
|+ <p align="center">''<math>\mathbf{S''=1, ''\;L''=1, ''\;J''=2,\;1,\;0 <sup>3</sup>P<sub>2</sub>, <sup>3</sup>P<sub>1</sub>, <sup>3</sup>P<sub>0</sub>}</pmath>
|+ <p align="center"><math>\mathbf{^3P_2,\;^3P_1,\,^3P_0}</math></p>
|-
| colspan="2" | &nbsp;
! colspan="3" align="center" | ''M<submath>sM_s</submath>''
|-
! colspan="2" | &nbsp;
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | <math>+1</math>
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | <math>0</math>
! align="center" width="40px" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | −1<math>-1</math>
|-
! rowspan="3" valign="center" | ''M<submath>lM_l</submath>''
! align="center" width="40px" style="border-right: 2px solid windowtext" | <math>+1</math>
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" | <math>1</math>
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | <math>0</math>
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" | <math>1</math>
|-
! align="center" style="border-right: 2px solid windowtext" | −1<math>-1</math>
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" | <math>1</math>
| align="center" | <math>1</math>
|}
| width="150px" |
{| cellspacing="0"
|+ <p align="center">''<math>\mathbf{S''=0, ''\;L''=0, ''\;J''=0 <sup>1</sup>S<sub>0</sub>}</pmath>
|+ <p align="center"><math>\mathbf{^1S_0}</math></p>
|-
| colspan="2" | &nbsp;
! align="center" | ''M<submath>sM_s</submath>''
|-
! colspan="2" | &nbsp;
! align="center" style="border-bottom: 2px solid windowtext" | <math>0</math>
|-
! valign="center" | ''M<submath>lM_l</submath>''
! align="center" width="40px" style="border-right: 2px solid windowtext" | <math>0</math>
| align="center" | <math>1</math>
|}
|}