Sistema di equazioni lineari: differenze tra le versioni
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== Definizione ==
Un [[sistema di equazioni]] lineari è un insieme di <math>m</math> [[Equazione lineare|equazioni lineari]] in <math>n</math> incognite, che può essere scritto nel modo seguente:<ref name="def">{{Cita|
:<math>
▲\begin{matrix}
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n = b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n = b_2\\
\vdots\\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 +\cdots + a_{m,n}x_n = b_m\\
\end{
Il numero <math>n</math> delle incognite è detto anche ordine del sistema.
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Se i termini noti <math>b_i</math> sono tutti nulli il sistema è detto ''omogeneo''.
Una <math>n</math>-upla <math>(x_1,\dots,x_n)</math> di elementi nel campo è una ''soluzione'' del sistema se soddisfa tutte le <math>m</math> equazioni.<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|
Due sistemi si dicono ''equivalenti'' se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|
== Forma matriciale ==
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:<math> \mathbf x \equiv \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math>
ciascuna equazione è equivalente ad un [[prodotto scalare]] standard:<ref name="scalare">{{Cita|
:<math>\mathbf a_1 \cdot \mathbf x = b_1</math>
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L'immagine di <math>L_A</math> è [[span lineare|generata]] dai vettori dati dalle colonne di <math> A </math>, e quindi <math> \mathbf b </math> è nell'immagine se e solo se lo [[span lineare|span]] delle colonne di <math>A</math> contiene <math> \mathbf b </math>, cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di <math> A </math> è uguale allo spazio generato dalle colonne di <math> (A|\mathbf b) </math>. In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.
Se esiste una soluzione <math> \mathbf x_0 </math>, ogni altra soluzione si scrive come <math> \mathbf x_0 + \mathbf v </math>, dove <math> \mathbf v </math> è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:<ref>{{Cita|
:<math>A \mathbf v=0</math>
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:<math>\operatorname{Sol}(A, \mathbf b) = \mathbf x_0 + \operatorname{Sol}(A, \mathbf 0)</math>
La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.<ref>{{Cita|
== Strumenti per la risoluzione ==
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Dato un sistema lineare nella forma
:<math> A \cdot \mathbf
dove <math>
:<math> A^{-1}\cdot \mathbf
dove <math> A^{-1} </math> è l'[[matrice inversa|inversa]] di <math> A </math>. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
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===Il metodo di riduzione===
Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna [[combinazione lineare]] di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come [[prodotto di matrici|prodotto]] tra opportune [[sottomatrice|sottomatrici]] dei coefficienti e il [[Vettore (matematica)|vettore]] '''x''' delle soluzioni, ovvero
:<math>\begin{cases}A\mathbf
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione
:<math>m \cdot A\mathbf
dove <math> m </math> e <math> n </math> sono due numeri [[
== Note ==
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== Bibliografia ==
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== Voci correlate ==
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