Sistema di equazioni lineari: differenze tra le versioni

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== Definizione ==
Un [[sistema di equazioni]] lineari è un insieme di <math>m</math> [[Equazione lineare|equazioni lineari]] in <math>n</math> incognite, che può essere scritto nel modo seguente:<ref name="def">{{Cita|S. Lang|Pagp. 61|lang}}.</ref><ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pagp. 3|kunze}}.</ref>
 
:<math>
\begin{matrixcases}
\left\{
\begin{matrix}
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n = b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n = b_2\\
\vdots\\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 +\cdots + a_{m,n}x_n = b_m\\
\end{matrixcases}
\right.</math>
 
Il numero <math>n</math> delle incognite è detto anche ordine del sistema.
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Se i termini noti <math>b_i</math> sono tutti nulli il sistema è detto ''omogeneo''.
 
Una <math>n</math>-upla <math>(x_1,\dots,x_n)</math> di elementi nel campo è una ''soluzione'' del sistema se soddisfa tutte le <math>m</math> equazioni.<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pagp. 4|kunze}}.</ref>
 
Due sistemi si dicono ''equivalenti'' se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pagp. 6|kunze}}.</ref>
 
== Forma matriciale ==
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:<math> \mathbf x \equiv \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math>
 
ciascuna equazione è equivalente ad un [[prodotto scalare]] standard:<ref name="scalare">{{Cita|S. Lang|Pagp. 176|lang}}.</ref>
 
:<math>\mathbf a_1 \cdot \mathbf x = b_1</math>
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L'immagine di <math>L_A</math> è [[span lineare|generata]] dai vettori dati dalle colonne di <math> A </math>, e quindi <math> \mathbf b </math> è nell'immagine se e solo se lo [[span lineare|span]] delle colonne di <math>A</math> contiene <math> \mathbf b </math>, cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di <math> A </math> è uguale allo spazio generato dalle colonne di <math> (A|\mathbf b) </math>. In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.
 
Se esiste una soluzione <math> \mathbf x_0 </math>, ogni altra soluzione si scrive come <math> \mathbf x_0 + \mathbf v </math>, dove <math> \mathbf v </math> è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:<ref>{{Cita|S. Lang|Pagp. 177|lang}}.</ref>
 
:<math>A \mathbf v=0</math>
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:<math>\operatorname{Sol}(A, \mathbf b) = \mathbf x_0 + \operatorname{Sol}(A, \mathbf 0)</math>
 
La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.<ref>{{Cita|S. Lang|Pagp. 178|lang}}.</ref> Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il [[rango (algebra lineare)|rango]] della matrice <math>A</math> è <math>n</math>. Altrimenti se il campo <math>K</math> è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un [[sottospazio vettoriale]] di <math> K^n </math>, avente come [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] la nullità <math> t = n - \operatorname{rk}(A)</math> della matrice.
 
== Strumenti per la risoluzione ==
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Dato un sistema lineare nella forma
 
:<math> A \cdot \mathbf {x} = \mathbf {b} </math>
 
dove <math> \mathbf {x} </math> è il [[vettore colonna]] delle incognite, <math> \mathbf {b} </math> è il [[vettore colonna]] dei [[termine noto|termini noti]] e <math> A </math> è la [[matrice]] dei coefficienti ed è [[matrice quadrata|quadrata]] e [[matrice invertibile|invertibile]], la soluzione è unica ed è pari al [[prodotto di matrici|prodotto]]:
 
:<math> A^{-1}\cdot \mathbf {b} </math>
 
dove <math> A^{-1} </math> è l'[[matrice inversa|inversa]] di <math> A </math>. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.
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===Il metodo di riduzione===
Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna [[combinazione lineare]] di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come [[prodotto di matrici|prodotto]] tra opportune [[sottomatrice|sottomatrici]] dei coefficienti e il [[Vettore (matematica)|vettore]] '''x''' delle soluzioni, ovvero
:<math>\begin{cases}A\mathbf {x}=\mathbf {c} \\ B\mathbf {x}=\mathbf {d}\end{cases} </math>
allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione
:<math>m \cdot A\mathbf {x} + n \cdot B\mathbf {x}=m \cdot \mathbf {c} + n \cdot \mathbf {d}</math>.
dove <math> m </math> e <math> n </math> sono due numeri [[scalareScalare (matematica)|scalari]] qualsiasi, entrambi diversi da zero.
 
== Note ==
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== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognomeautore=Serge Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =langLang}}
* {{cita libro | cognomeautore=Kenneth Hoffman| nomeautore2= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze|lingua= en}}
* {{cita libro | cognomeautore=F. Odetti| nomeautore2= F.|coautori = M. Raimondo| titolo= Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica| editore= ECIG| città= | anno= 1992|isbn= 88-7545-717-4|cid=Odetti}}
 
== Voci correlate ==