Differenze tra le versioni di "Serie di funzioni"

tolgo restrizione sul dominio ''D'': non necessariamente deve essere dotato di una struttura
(tolgo restrizione sul dominio ''D'': non necessariamente deve essere dotato di una struttura)
In [[analisi matematica]], una '''serie di funzioni''' è uno strumento usato per generalizzare lo studio della somma di un numero finito di [[funzione (matematica)|funzioni]] e giungere ad alcuni importanti risultati di [[convergenza]], per poter esprimere una funzione qualsiasi come una somma (infinita) di altre funzioni, magari più semplici da trattare.
 
Una serie di funzioni, analogalmenteanalogamente alle [[serie]] numeriche, è definita come una particolare [[successione (matematica)|successione]] associata ad un'altra successione.
 
Tale successione è una [[successione di funzioni]] <math>\{f_n\}_{n \in \N}</math>, cioè ogni elemento della successione è una funzione <math>f_n(x):D\subseteq \R\longrightarrow \R</math> (analogamente si potrebbero considerare <math>\R^n</math> o <math>\mathbb{C}</math>), e la serie associata è definita dalla legge <math>\{s_n(x)=f_0+...+f_n\}_{n \in \N}</math> e si indica anche con <math>\sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)</math>.
 
Nel definire le serie di funzioni, e nell'enunciarne molti teoremi e proprietà, non è affatto necessario presupporre su ''D'' alcuna struttura. Dove sia richiesto, l'insieme ''D'' potrà essere uno spazio topologico, metrico, etc. o un certo sottoinsieme di <math>\R</math>, <math>\mathbb{C}</math>, <math>\R^n</math> o <math>\mathbb{C}^n</math>.
 
In analogia con le serie numeriche, i termini <math>f_n</math> e <math>s_n</math> vengono detti rispettivamente ''termine generale'' e ''somma parziale'' della serie.
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