Diffeomorfismo: differenze tra le versioni
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Un '''diffeomorfismo''' è una [[funzione (matematica)|funzione]] tra due [[Varietà differenziabile|varietà differenziabili]] con la proprietà di essere [[funzione differenziabile|differenziabile]], [[funzione invertibile|invertibile]] e di avere l'inversa differenziabile.
== Definizione ==
Date due [[Varietà (geometria)|varietà]] <math>M</math> e <math>N</math>, una [[Mappa (matematica)|mappa]] differenziabile <math>f \colon M \rightarrow N </math> è detta ''diffeomorfismo'' se è una [[bigezione]] e se anche la sua inversa <math>f^{-1} \colon N \rightarrow M</math> è differenziabile. Se queste funzioni sono [[Classe C di una funzione|differenziabili per continuità]] <math>r</math> volte, <math>f</math> è detta un <math>C^r</math>-diffeomorfismo.
Due varietà <math>M</math> e <math>N</math> sono ''diffeomorfe'' (indicato solitamente con <math>M \simeq N</math>) se c'è un diffeomorfismo <math>f</math> da <math>M</math> a <math>N</math>. Sono <math>C^r</math>- diffeomorfe se c'è tra loro una mappa bigettiva differenziabile per continuità <math> r </math> volte la cui inversa è anch'essa differenziabile per continuità <math> r </math> volte.
=== Negli spazi euclidei ===
In realtà, nel definire una varietà differenziabile, si usa il concetto di diffeomorfismo, anche se ristretto al caso di regioni di [[spazio euclideo|spazi euclidei]]. Per questo motivo è necessario, ai fini del rigore formale, avere a disposizione una definizione di diffeomorfismo tra spazi euclidei indipendente dal concetto di varietà differenziabile; dunque:
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In una variabile, un diffeomorfismo è una funzione <math>f</math> con differenziale <math>d_f\neq 0</math> quindi invertibile con inversa <math>f^{-1}</math> anch'essa differenziabile. Chiaramente, una volta definite le varietà differenziabili la seconda definizione diventa un caso particolare della prima.
== Diffeomorfismi e omeomorfismi ==
È abbastanza facile trovare un omeomorfismo tra varietà differenziabili che non sia un diffeomorfismo, meno facile è trovare varietà omeomorfe che non siano anche diffeomorfe. È possibile dimostrare che per dimensioni minori o uguali a
== Bibliografia ==
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}}
* {{Cita pubblicazione|cognome=Leslie|nome=J. A.|titolo=On a differential structure for the group of diffeomorphisms|id={{MathSciNet|id = 0210147}}|anno=1967|rivista=Topology. An International Journal of Mathematics|issn=0040-9383|volume=6|pp=263–271 }}
* {{Cita libro|autore =[[John Milnor]]|titolo= Collected Works Vol. III, Differential Topology|editore = American Mathematical Society|anno = 2007|isbn = 0-8218-4230-7}}
* {{Cita pubblicazione
|cognome=Omori|nome=Hideki
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