Spazio affine: differenze tra le versioni
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Uno spazio affine <math>\mathbb A</math> è un insieme dotato di una funzione
:<math>f:\mathbb{A} \times V \to \mathbb{A}
dove <math>V</math> è uno [[spazio vettoriale]] su un campo <math>K</math>, generalmente indicata con il segno <math>+</math> nel modo seguente
:<math>f(P,v) = P + v
tale che
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<math>(V,\phi)</math> con la mappa <math>\phi</math> definita come
:<math>\phi(v,w) = w-v.</math>
Mentre nella definizione alternativa la funzione <math>f</math> è la semplice somma fra vettori in <math>V</math>.
== Prime proprietà ==
Sia <math> \mathbb A </math> uno spazio affine associato a <math> V </math> <math> K </math>-spazio vettoriale
* <math> \forall P\in \mathbb A \; \; \overrightarrow {PP}=0
* <math> \forall P,Q \in \mathbb A \; \; \overrightarrow {QP}=-\overrightarrow {PQ}
== Riferimento affine ==
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Un ''sottospazio affine'' <math>S</math> di <math>\mathbb A</math> è un sottoinsieme rappresentabile come:
:<math>S = P + W = \{P + w \ |\ w \in W\}
dove <math>P</math> è un punto fissato di <math>\mathbb A</math> e <math>W</math> è un [[sottospazio vettoriale]] di <math>V</math>.
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=== Relazioni ===
Due sottospazi affini <math>S_1,S_2</math> sono detti:
* '''''incidenti''''' se <math>S_1 \cap S_2 \neq \varnothing
* '''''paralleli''''' se <math>\mathrm{Giac}(S_1) \subseteq \mathrm{Giac}(S_2)</math> oppure <math>\mathrm{Giac}(S_1) \supseteq \mathrm{Giac}(S_2);</math>
* '''''sghembi''''' se <math>S_1 \cap S_2 = \varnothing</math> e <math>\mathrm{Giac}(S_1) \cap \mathrm{Giac}(S_2)=\{0\}
* esiste un altro caso che si presenta solo in spazi affini di dimensione 4 o superiore, ovvero quando i due sottospazi hanno intersezione vuota, nessuna delle due giaciture è contenuta nell'altra ma queste si intersecano in un sottospazio più grande dell'origine.
=== Sottospazi affini in spazi vettoriali ===
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