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→Logica e principio del terzo escluso: formalizzazione e dimostrazione nella logica proposizionale |
→Nella logica proposizionale: relazione con la legge di identità e con le due leggi della doppia negazione |
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Le teorie sui [[fondamenti della matematica]], in particolare la scuola [[intuizionismo|intuizionista]], non ne danno oggi per scontata l'autoevidenza. La [[logica fuzzy]] rifiuta questo principio perché i valori di verità sono presi nell'intervallo chiuso tra vero e falso nel campo dei numeri reali, violandone la polarità. In tutte le logiche in cui i valori di verità sono polari questo principio conserva ancora tutta la sua validità, come si dimostra in [[logica binaria]].
==Nela logica proposizionale ==
Nell'ambito della [[logica proposizionale]], il principio del terzo escluso è formalizzato nel modo seguente:
:<math>p \vee \neg p</math>,
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| || (9) || <math>(P \vee \neg P)</math> || [[Doppia negazione]] || 8
|}
La tesi era già dimostrata in corrispondenza della riga (6), che tuttavia dipendeva ancora da un'ipotesi,
Dal principio del terzo escluso, discendono le due seguenti leggi logiche:
:<math>[P \rightarrow \neg P] \vdash \neg P</math> (1*)
:<math>P \rightarrow Q , P \rightarrow \neg Q \vdash \neg P</math> (2*)
Inoltre, mediante altri teoremi, si dimostra anche che <math>[(\neg P) \vee Q] \vdash [P \rightarrow Q]</math><ref>Edward John Lemmon, ''Elementi di logica con gli esercizi risolti'', Laterza, 2017, p. 65, ISBN 978-88-420-2772-0</ref> (3*), verità logica che, ponendo <math>Q = P</math>, permette di derivare la legge di identità <math>P \rightarrow P</math> a partire dal principio del terzo escluso assunto come premessa. Se invece si pone <math>Q = \neg \neg P</math>, allora si ha che <math>[\neg P \vee (\neg \neg P)] \vdash [P \rightarrow (\neg \neg P)]</math>, che è la prima delle due leggi della [[doppia negazione]]. Si noti a questo punto che la parte a destra dell'ultima espressione di sequenza è una legge della logica proposizionale, la sua premessa <math>\neg P \vee (\neg \neg P)</math> è in realtà universalmente valida ed è una riscrittura del principio del terzo escluso. La seconda legge di identità afferma che <math>\neg \neg P \rightarrow P</math>.<br />
Si dimostra anche che è valido il reciproco della precedente proprietà, cioè <math>P \rightarrow Q \vdash \neg P \vee Q</math><ref>Edward John Lemmon, ''Elementi di logica con gli esercizi risolti'', Laterza, 2017, p. 66 (dimostrazione n. 49), ISBN 978-88-420-2772-0</ref> (4*): ponendo di nuovo <math>Q = \neg P</math>, si ha che <math>[P \rightarrow \neg P] \vdash [\neg P \vee (\neg P)]</math>, e per la (1*) si ha che <math>\neg P \vdash \neg P \vee (\neg P)</math>.
Tradotti in parole, la prima legge afferma che se una cosa implica il suo contrario, allora non può esistere. Ciò smentisce seccamente il noto proverbio secondo il quale i contrari si coimplicherebbero a vicenda, nonché il divenire dell'uno nell'altro reciprocamente. Il corrispondente detto latino è: ''contraria reciprocantur seu convertuntur''.<br />
La seconda legge afferma che un ente non può essere la causa di un effetto e della sua negazione logica, interpretata nella [[metafisica]] come il suo contrario o opposto.
Ciò ha rilevanti implicazioni logiche e matematiche nella fattibilità della [[Dialettica#Hegel|dialettica degli enti secondo Hegel]]: tesi, antitesi e sintesi.
Data la loro importanza, si riportano in breve le rispettive dimostrazioni:
{| border="1" cellspacing="1" cellpadding="5"
|+ <div align ="center">'''Tesi''': <math>P \rightarrow \neg P \vdash \neg P</math></div align>
! Dipende dalla riga n. !! Riga n. !! [[Formula ben formata|F.b.f.]] !! Regola applicata !! Righe di applicazione della regola
|- align=center
| 1 || (1) || <math>P \rightarrow \neg P</math> || assunzione (A) ||
|- align=center
| 2 || (2) || P || assunzione (A) ||
|- align=center
| 1,2 || (3) || <math>\neg P</math> || ''[[modus ponendo ponens]]'' (MPP) || 1 , 2
|- align=center
| 2,3 || (4) || <math>P \wedge (\neg P)</math>|| Introduzione della [[congiunzione logica|congiunzione]] (I<sub>∧</sub>) || 2, 3
|- align=center
| 1 || (5) || <math>\neg P</math> || ''[[Reductio ad absurdum]]'' (RAA) || 2 , 4
|}
La dimostrazione procede per assurdo. Nela riga (2) viene assunta la negazione della tesi da dimostrare, che è <math>\neg P</math>. Per la regola della [[doppia negazione]] (passaggio omesso) si ha che <math>[\neg (\neg P)] = \neg \neg P = P</math>. Si arriva ad una contraddizione nella riga (4), che per il [[principio di non-contraddizione]] non può essere vera. Allora, si può applicare la regola della riduzione all'impossibile, che, in presenza di una contraddizione, impone di negare l'assunzione che la causa, vale a dire la riga (2). Negando la negazione della tesi nella riga (2), la tesi <math>\neg \neg \neg P = \neg P</math> risulta verificata.
La dimostrazione della seconda legge è la seguente:
{| border="1" cellspacing="1" cellpadding="5"
|+ <div align ="center">'''Tesi''': <math>P \rightarrow Q , P \rightarrow \neg Q \vdash \neg P</math>
! Dipende dalla riga n. !! Riga n. !! [[Formula ben formata|F.b.f.]] !! Regola applicata !! Righe di applicazione della regola
|- align=center
| 1 || (1) || <math>P \rightarrow Q</math> || assunzione (A) ||
|- align=center
| 2 || (2) || <math>P \rightarrow \neg Q</math> || assunzione (A) ||
|- align=center
| 3 || (3) || P || assunzione (A) ||
|- align=center
| 1,3 || (4) || Q || ''[[modus ponendo ponens]]'' (MPP) || 1 , 3
|- align=center
| 1,4 || (5) || <math>\neg Q</math> || assunzione (A) || 1 , 4
|- align=center
| 1,3,4 || (6) || <math>Q \wedge \neg Q</math> || Introduzione della [[congiunzione logica|congiunzione]] (I<sub>∧</sub>) || 4 , 5
|- align=center
| 3, 1, 4<ref>Deriva dall'unione delle assunzioni della (3) che è la [[Formula ben formata|f.b.f]] stessa e quelle della (6) che sono le righe identificate nell'insieme (1,3,4)</ref> || (7) || <math>\neg P</math> || ''[[Reductio ad absurdum]]'' (RAA) || 3 , 6
|}
La dimostrazione procede per assurdo. Viene assunta come ipotesi la negazione della tesi da dimostrare che è <math>\neg P </math>. Tale ipotesi <math>\neg \neg P</math> diviene <math>P</math> per la regola della [[doppia negazione]] il cui passaggio viene normalmente omesso nel procedimento per assurdo.
L'applicazione del ''modus ponendo ponens'' alle due premesse nelle righe (4) e (5) conduce alla contraddizione della (6), passaggio necessario per concludere l'impossibilità e irrealtà dell'ipotesi alla riga (3) che viene quindi negata alla (7). [[Come volevasi dimostrare]].
== Voci correlate ==
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