Leggi di Keplero: differenze tra le versioni
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La seconda legge di Keplero non è altro che la conservazione del [[momento angolare]] (la costanza del momento angolare, deriva, a sua volta, dal fatto che la forza è centrale).
== Terza Legge (Legge dei periodi, 1619) ==
[[File:Terza legge di Keplero.svg|alt=|miniatura|587x587px|Grafico logaritmico del semiasse maggiore (in Unità Astronomiche) in funzione del periodo orbitale (in anni terrestri) per gli otto pianeti del Sistema Solare. Dati da [https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/planet_table_ratio.html Planetary Fact Sheet - Ratio to Earth Values] ([[NASA]]).]]
La terza legge afferma che:
{{citazione|I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali al cubo delle loro distanze medie dal Sole.}}
Il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore dell'orbita è lo stesso per tutti i pianeti.
Questa legge può essere espressa in forma matematica nel modo seguente:
:<math>T^2 ={k} \cdot{a^3}</math>
dove <math>a</math> è il semiasse maggiore dell'orbita, ''T'' il periodo di rivoluzione e ''K'' una costante (a volte detta di Keplero), che dipende dal corpo celeste attorno al quale avviene il moto di rivoluzione.
Se si considera il moto di rivoluzione dei pianeti del sistema solare attorno al Sole e si misurano le distanze in [[Unità astronomica|unità astronomiche]] e il tempo in [[Anno tropico|anni solari]] (come nella figura qui a fianco) ''K'' vale 1. Rimarchiamo il fatto che la terza legge vale anche per i [[Satellite naturale|satelliti]] che orbitano intorno ai pianeti: il valore della costante, cambia da pianeta a pianeta mentre per un fissato pianeta, essa è uguale per tutti i satelliti del suddetto pianeta. Per un'[[orbita circolare]] la formula si riduce a
:<math>T^2 = K {r^3}</math>
dove ''r'' è il raggio dell'orbita.
Si può dimostrare che <math>K=\frac {4\pi^2\mu} {|k|}</math>, con <math> k=Gm_1 m_2 </math> per il caso gravitazionale e <math> \mu </math> [[massa ridotta]]. La dimostrazione è particolarmente semplice nel caso di orbita circolare di raggio <math>a</math> e nell'approssimazione in cui una massa (per esempio quella del sole) sia molto più grande dell'altra (pianeta), ovvero <math>m_1 \gg m_2</math>. La [[Legge di gravitazione universale|forza di attrazione gravitazionale]] è <math>F_G = \frac{Gm_1 m_2}{a^2}</math>, e la [[forza centripeta]] (supponendo <math>m_1</math> fissa) è <math>F_C = m_2 \omega^2 r</math> dove <math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math> è la pulsazione e <math>T</math> il periodo. Uguagliando le due forze si ottiene
:<math>\frac{4 \pi^2}{T^2} = \frac{G m_1}{a^3}</math>
== Limiti di validità delle leggi di Keplero e loro applicabilità ==
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