Gioco cooperativo: differenze tra le versioni
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Iintroduzione e definizione di coalizione |
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Nei giochi cooperativi esiste la possibilità che i giocatori stipulino degli accordi vincolanti, mentre questo non accade nei giochi non cooperativi.
== Introduzione ==
I giochi ad <math>n</math> giocatori presentano una natura diversa dai giochi a somma nulla (a due giocatori) dove gli interessi dei due giocatori sono in opposizione tra loro, in conflitto diretto. Nei giochi a tre o più giocatori può comparire la [[cooperazione]]. La decisione ([[Strategia (teoria dei giochi)|strategia]]) di un partecipante può essere svantaggiosa per entrambi gli altri due giocatori come invece potrebbe risultare essere vantaggiosa per uno e svantaggiosa per l’altro: la possibilità di un "parallelismo" nelle decisioni tra i giocatori conduce alla formazione di coalizioni. La teoria cooperativa dei giochi esamina i giochi in cui i giocatori si accordano per formare coalizioni, ossia per formare uno dei possibili sottoinsiemi costituito da <math>m</math> degli <math>n</math> partecipanti al gioco.
== Le coalizioni ==
Il numero di coalizioni possibili costituibili da un insieme <math>R= \{ 1, 2, \cdots, n \} </math> di <math>n</math> giocatori è pari a <math>2^n</math>. Ai fini pratici una '''coalizione''' <math>G \subseteq R</math> si considera come un singolo giocatore: i restanti giocatori <math>R-G</math> si riuniranno in un'altra coalizione che costituirà la così detta '''colazione opposta'''. Sotto questo punto di vista, assegnata una qualsiasi coalizione <math>G</math>, nel gioco si troveranno in lotta due colazioni <math>G</math> e <math>R-G</math> ed il gioco potrà essere inteso come un gioco antagonista tra due “persone’’. Quando <math>G=R</math> il gioco di riduce al un gioco di una persona singola dove le decisioni possibili della coalizione avversa <math>R-G = \{ \varnothing \} </math> si riducono alla sola ed unica strategia: quella di non fare nulla. Stesso discorso vale qualora si avesse <math>G = \{ \varnothing \} </math>
Assegnata la coalizione <math>G</math>, con <math>A</math>, la relativa matrice dei pagamenti e costituita la contro-coalizione <math>G^c = R-G</math>, con matrice dei pagamenti <math>B</math>, il gioco tra i due può dunque essere ricondotto a
• un gioco a somma costante e dunque a somma nulla allorquando <math>A + B = 0</math> ovvero <math>B = -A</math>,
• un gioco a somma non costante, cioè a doppia matrice <math>[ A , B ]</math>.
Il '''valore di una coalizione''' <math>v(G)</math> viene misurato tramite la ''funzione caratteristica'', cioè per mezzo di una [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>v</math> a valori reali definita sull’insieme di tutti i sottoinsiemi <math>G \subseteq R</math> tale che
::<math>v(G)</math> = valore del gioco per la coalizione <math>G</math>
Si indichi con <math> {\mathbf x} </math> e <math> {\mathbf y} </math> le strategie miste rispettivamente della coalizione <math>G</math> e della coalizione opposta <math>G^c</math>. In sostanza <math>v(G)</math> è la vincita minima che la coalizione <math>G</math> si assicura mediante la scelta di un’appropriata strategia maximin
:: <math> \max_{ { \mathbf x} }\min_{j} {\mathbf x} \cdot {\mathbf a}^j = v(G)</math>
allorquando la coalizione avversa <math>R-G</math> fa di tutto per impedirgli di ottenere una vincita superiore a <math>v(R-G)</math> minimizzando le proprie perdite mediante la scelta di un’opportuna strategia minimax:
:: <math> \min_{ { \mathbf y} }\max_{i} {\mathbf a}_i \cdot {\mathbf y} = v(R-G)</math>
Il teorema del minimax garantisce che <math>v(G) = v^* = v(R-G)</math> e poiché <math> v(R-G) = - v(G) </math> necessariamente risulta <math>v^* = 0</math>.
In un gioco a somma non costante il [[teorema del minimax]] non sussiste: massimizzare le proprie vincite non è la stessa cosa di minimizzare le vincite dell’avversario in quanto un giocatore dovrebbe ignorare le vincite che potrebbe conseguire (guardando alla matrice <math>B</math>) per concentrare tutti i suoi sforzi nel recare il maggior danno al giocatore avversario (guardando cioè alla matrice <math>A</math>). Premesso ciò, resta inteso che anche nel caso di giochi a somma non nulla, la liquidazione del gioco può essere intesa come la somma corrispondente al valore di un gioco a somma zero una volta che si ipotizzi che la contro-coalizione <math>G^c</math> agisca minimizzando la vincita della coalizione <math>G</math> in riferimento alla matrice <math>A</math>, piuttosto che massimizzando il proprio guadagno in riferimento alla matrice <math>B</math>.
== Collegamenti esterni ==
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