Postulati della meccanica quantistica: differenze tra le versioni

In generale, ogni vettore nello spazio di Hilbert può essere decomposto nella combinazione lineare di altri vettori. In particolare, ad ogni osservabile si associa una base ortonormale di vettori nello spazio di Hilbert, la base dei suoi autostati (vedi più avanti): dunque, ogni stato può essere decomposto in somma di autostati di una certa osservabile ([[principio di sovrapposizione (meccanica quantistica)|principio di sovrapposizione]]). Questo fatto è importante perché si postula che all'atto della misura dell'osservabile in questione si ottenga un preciso autovalore, con una precisa probabilità, e lo stato dopo la misura risulta essere il corrispondente autovettore (vedi più avanti per i dettagli). Osserviamo che la definizione di queste probabilità non cambia se il vettore di partenza viene moltiplicato per una fase arbitraria. In meccanica quantistica esistono osservabili che non commutano: questo fatto implica che non esiste una base ortonormale comune a tutte le osservabili, anzi in generale a ogni osservabile si associa una base differente, obliqua rispetto alle altre, e questo può essere fonte di comportamenti a prima vista sorprendenti. Ricostruire un vettore a partire dalle distribuzioni di probabilità associate al risultato della misura di certe osservabili è un'operazione generalmente non univoca: questo perché il risultato di una misura fissa le probabilità, che sono i moduli quadri dei coefficienti del vettore (rispetto alla base associata a quella osservabile) e restano indeterminate le fasi relative di questi coefficienti. Notiamo che queste fasi relative sono spesso cruciali nell'osservare i fenomeni di interferenza tipici della meccanica quantistica.

Un postulato spesso sottinteso ma non vincolato al precedente è che il [[flusso di probabilità]] è continuo: cioè la funzione d'onda non fa [[discontinuità|salti]], e per essa vale dunque il [[teorema di Noether]]. Una caratteristica peculiare della [[meccanica quantistica]] è quella di fornire soltanto predizioni [[statistica|statistiche]] invece che deterministiche (come invece succede nella [[meccanica classica]]). Questo vuol dire che, anche prendendo in considerazione [[esperimento|esperimenti]] ideali, non è mai possibile predire il risultato di una misura. Quello che invece si può sapere è la probabilità di ottenere come risultato <math>\alpha</math> invece di <math>\beta</math>.<br />

Per via del postulato sulla ''probabilità di un risultato'' la probabilità di ottenere come risultato <math>\alpha</math> dalla misura di <math>\left |\alpha \right \rangle</math> deve essere uguale ad 1. Questo vuol dire che, se misurando <math>\left |\psi \right \rangle</math> ottengo <math>\alpha</math>, questo cambierà lo stato del mio sistema in <math>\left |\alpha \right \rangle</math> e quindi ogni successiva misura (compiuta senza che lo stato evolva) dovrà dare lo stesso risultato con probabilità unitaria.<br />Un'altra conseguenza importante è che, se due operatori <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> commutano, è possibile trovare una base di [[autovettore|autovettori]] comune e quindi misure indipendenti di queste due [[grandezza fisica|grandezze]] non si influenzano l'un l'altra. Infatti se misuriamo A su un sistema nello stato <math>\left |\psi \right \rangle</math> questi verrà proiettato sull'autospazio di A e quindi diventerà della forma <math>\left |\alpha \right \rangle</math>. Se poi si misura indipendentemente anche B lo stato diventerà della forma <math>\left |\alpha , \beta \right \rangle</math> che appartiene sia all'autospazio di A che di B. Una successiva misura di A non potrà portare altro che al risultato <math>\alpha</math> e quindi la misura di B non ha influenzato la misura di A. Questo non è vero per coppie di operatori che non commutano, le cui misure (anche ideali ed indipendenti) si influenzano reciprocamente. Il valore minimo di incertezza introdotta nelle misure da questo effetto è data dal [[principio di indeterminazione di Heisenberg]] (che, nella formulazione assiomatica della [[meccanica quantistica]], è un teorema).

* {{en}} V. Moretti ''[https://www.springer.com/mathematics/applications/book/978-88-470-2834-0 Spectral Theory and Quantum Mechanics; With an Introduction to the Algebraic Formulation]'' Springer-Verlag, 2013