Serie di potenze: differenze tra le versioni

dove i '''coefficienti''' ''a<submath>na_n</submath>'', il '''centro''' ''<math>c''</math> e la '''variabile argomento''' ''<math>x''</math> assumono, usualmente, valori [[numero reale|reali]] o [[numero complesso|complessi]]<ref>Sarebbe più corretto scrivere: <math>f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n \left( x-c \right)^n </math>, tuttavia si preferisce spesso semplificare la notazione con l'assunzione <math>0^0 = 1</math>, posizione non valida in generale.</ref>. In matematica sono studiate anche serie di potenze di più variabili reali e complesse e serie di potenze di entità non numeriche (matrici, operatori, elementi di strutture algebriche, variabili formali, ...). Si considerano anche serie di potenze negative e di potenze intere sia negative che naturali.

In molte situazioni interessano prevalentemente serie con il centro ''<math>c''</math> uguale a zero, ad esempio quando si considera una [[serie di Maclaurin]]. In questi casi la serie di potenze assume la forma più semplice

Le serie di potenze sono trattate primariamente nell'analisi matematica, ma svolgono un ruolo importante anche nella [[combinatoria]] (come [[serie formale di potenze|serie formali di potenze]] e con il ruolo delle [[funzione generatrice|funzioni generatrici]]) e nell'ingegneria elettrica (con il nome di [[trasformata zeta]]). La familiare [[notazione decimale]] per i numeri reali compresi fra <math>0</math> e <math>1</math> si può considerare un esempio di serie di potenze con la variabile argomento ''<math>x''</math> fissata al valore 1/10 (come la notazione decimale per gli interi si può considerare un caso particolare di polinomio). Inoltre il concetto di [[numero p-adico]] della [[teoria dei numeri]] è strettamente collegato a quello di serie di potenze.

Ogni [[polinomio]] può facilmente vedersi come serie di potenze intorno a qualsiasi centro ''<math>c''</math>, con una infinità di coefficienti uguali a zero. Ad esempio il polinomio <math>\,f(x) = x^2 + 2x + 3</math> può essere riscritto come serie di potenze con centro <math>c=0</math>

o ancora come serie con un centro denotato con una generica ''<math>c''</math>. Si potrebbe anche usare per le serie di potenze una espressione come "polinomi di grado infinito", espressione solo suggestiva in quanto le serie di potenze non sono polinomi.

Una serie nella quale compaiono potenze negative della variabile non è considerata una serie di potenze; ad esempio <math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \ldots</math> non fa parte dell'insieme delle serie di potenze; essa fa parte di un altro insieme di serie, quello delle [[serie di Laurent]]. Similmente non sono ammesse fra le serie di potenze le serie nelle quali compaiono termini con potenze frazionali della variabile come <math>x^{1/2}</math>; esse costituiscono l'insieme delle [[serie di Puisieux]]. Osserviamo esplicitamente che i coefficienti <math>a_n</math> non possono dipendere dalla <math>x</math>: quindi per esempio la seguente espressione:

converge per alcuni valori della variabile <math> x </math> (almeno per <math> x </math> = <math> c </math>) e può divergere per altri. Esiste un numero ''<math>R''</math> con <math>0\le ≤ ''R'' ≤\le ∞+\infty</math> tale che la serie converge quando <math>|''x'' − ''-c''| < ''R''</math> e diverge quando <math>|''x'' − ''-c''| > ''R''</math>. Questo numero ''<math>R''</math> è chiamato [[raggio di convergenza]] della serie di potenze e per ogni serie è dato dalla [[Teorema di Cauchy-Hadamard|formula di Cauchy-Hadamard]] per il raggio di convergenza:

La serie [[serie#Convergenza assoluta|converge assolutamente]] per <math>|''x'' - ''c''| < ''R''</math> e [[convergenza totale|converge totalmente]] (e quindi anche [[convergenza uniforme|uniformemente]]) su ogni sottoinsieme [[compatto]] del disco <math>\left \{''x'' x:| ''x'' − ''-c''| < ''R'' \right \}</math>.

Per <math>|''x'' - ''c''| = ''R''</math> non si dispone di alcun enunciato generale sulla convergenza o meno della serie. Si ha però il [[teorema di Abel]] che afferma che se la serie converge in un punto <math>x_0</math>, allora converge uniformemente su ogni punto appartenente al segmento di estremi <math>x_0</math> e <math>0</math>.

Una funzione ''f'' definita su qualche [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] ''<math>U''</math> di '''<math>\mathbb {R'''}</math> o '''<math>\mathbb {C'''}</math> è [[funzione analitica|analitica]] se è rappresentabile localmente come una serie di potenze. Questo significa che ogni numero ''<math>a'' ∈\in ''U''</math> possiede un [[intorno]] aperto ''<math>V'' ⊆\subseteq ''U''</math>, tale che esiste una serie di potenze con centro ''<math>a''</math> che converge a ''<math>f''(''x'')</math> per ogni ''<math>x'' ∈\in ''V''</math>.

Se una funzione è analitica, allora è illimitatamente differenziabile, mentre nel caso reale il viceversa non è vero in generale. Per una funzione analitica i coefficienti ''a''<submath>''n''a_n</submath> possono essere calcolati mediante la relazione

dove ''f''<supmath>&nbsp;f^{(''n'')</sup>} (''c'')</math> denota la derivata ''<math>n''</math>-esima della ''funzione <math>f''</math> nel punto ''<math>c''</math>. Questo si esprime anche dicendo che ogni funzione analitica è rappresentata localmente dal suo [[sviluppo di Taylor]].

La forma globale di una funzione analitica è completamente determinata dal suo comportamento locale nel senso seguente: se ''<math>f''</math> e ''<math>g''</math> sono due funzioni analitiche definite su uno stesso insieme aperto [[spazio connesso|connesso]] ''<math>U''</math> e se esiste un elemento ''<math>c''∈'' \in U''</math> tale che ''f''<supmath>&nbsp;f^{(''n'')</sup>}(''c'') = ''g''<sup>&nbsp;^{(''n'')}(c)</supmath>(''c'') per ogni ''<math>n'' ≥\ge 0</math>, allora ''<math>f''(''x'') = ''g''(''x'')</math> per ogni ''<math>x'' ∈\in ''U''</math>.

Se è data una serie di potenze con raggio di convergenza ''<math>r''</math> si possono considerare le [[Prolungamento analitico|continuazioni analitiche]] della serie, cioè le funzioni analitiche ''<math>f''</math> che sono definite su domini più estesi di <math>\left \{ ''x'' : |''x'' - ''c''| < ''r'' \right \}</math> e che coincidono con la serie di potenze data su questo insieme. Il numero ''<math>r''</math> è massimale nel senso seguente: esiste sempre un numero complesso ''<math>x''</math> con <math>|''x'' - ''a''| = ''r''</math> tale che in esso non si può definire nessuna continuazione analitica della serie.

Mediante la più concisa notazione che si serve di [[multi-indice|multi-indici]] si può scrivere :