Incidenza (geometria): differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}
In [[matematica]] due [[insieme (matematica)|insiemi]] sono '''incidenti''' quando hanno almeno un elemento in comune, ovveroossia quando la loro [[intersezione (insiemistica)|intersezione]] non è [[insieme vuoto|vuota]].
 
In [[geometria descrittiva]] l''''incidenza''' indica anche l'intersezione di due insiemi nel [[piano (geometria)|piano]] o nello [[spazio euclideo]], considerando anche i [[punto improprio|punti impropri]].
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Ad esempio, il punto d'incidenza di due rette distinte nel piano è il loro punto d'intersezione; similmente nello spazio si hanno il punto d'incidenza di un piano e di una retta non contenuta in esso, oppure la retta d'incidenza di due piani distinti.
 
La [[sezione (geometria descrittiva)|sezione]] di una figura [[geometria piana|piana]] rispetto ada una retta o di una figura [[geometria solida|solida]] rispetto ad un piano sono casi particolari di incidenza.
 
==Esempi d'incidenza nel piano==
===Punto d'intersezione tra due rette complanari===
È un punto <math>Q</math> , che è comune a due rette <math>r</math> ed <math>s</math> , appartenenti entrambe allo stesso piano <math>\pi</math> . In simboli:
 
:<math>\left[\exist r,s \in \pi \;\;\mathrmtext{ tale\; che }\;\; r \cap s = Q\right].</math>
\;\;\lor\;\;
\left[\exist r,s \in \pi \;\;\mathrm{ tale\;che }\;\; r \cap s \neq \varnothing\right]</math>
 
Il punto <math>Q</math> prende il nome di ''punto proprio.''. Nel caso in cui <math>\pi</math> sia il piano cartesiano, chiamiamolo <math>\Pi</math>, possiamo riscrivere il tutto:
 
:<math>\exist r,s \in \Pi \;\;\mathrmtext{ tale\; che }\;\; r \cap s = Q\in\R^2\,;</math>
 
dove con <math>\R^2</math> si intende il [[prodotto cartesiano]] tra <math>\R</math> ed <math>\R</math>. Con ques'ultima notazione non facciamo altro che dire che <math>Q</math> fa parte del piano cartesiano e che viene individuato da una coppia di numeri <math>(x, y)\in\Pi</math>, ovveroossia le sue coordinate.
 
Nel caso in cui <math>r \parallel s</math> , <math>Q</math> prende il nome di ''[[punto improprio]].''.
 
'''<big>Esempio:</big>'''
 
Date le due rette di equazione <math display="inline">r : y = x + 1</math> e <math display="inline">s : y = -2x - 2</math> , per trovare il punto d'intersezione è sufficiente risolvere il sistema:
 
:<math>\begin{cases}
y = x + 1 \\
y = -2x - 2
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La [[complanarità]] tra due rette assegnate <math>r</math> ed <math>s</math> , disposte nello spazio, può essere verificata solo quando si eseguono almeno due proiezioni, sia centrali sia parallele, di tali rette <math>r</math> ede <math>s</math>. Per esempio, nel metodo di Monge (che fa parte della categoria delle proiezioni parallele), la complanarità può essere verificata quando le proiezioni ortogonali del punto d'intersezione tra le dette rette <math>r</math> ed <math>s</math> appartengono ada una stessa [[retta di richiamo]].
 
===Punto d'intersezione tra una retta ed una curva===
È un punto <math>Q</math>, che è comune ad una retta <math>r</math> ed una [[Curva (matematica)|curva]] <math>\gamma</math> , appartenenti entrambe allo stesso piano <math>\pi</math> . In simboli:
 
<math>\left[\exist r, \gamma \in \pi \;\;\mathrm{ tale\;che }\;\; r \cap \gamma = Q\right]
\;\;\lor\;\;
\left[\exist r, \gamma \in \pi \;\;\mathrm{ tale\;che }\;\; r \cap \gamma \neq \varnothing\right]</math> .
 
Come nel caso precedente, se <math>\pi</math> è il piano cartesiano <math>\Pi</math> , possiamo riscrivere come:
 
<math>\exist r, \gamma \in \Pi \;\;\mathrm{tale\;che}\;\; r \cap \gamma = Q\in\R^2\,.</math>
 
 
 
==Esempi d'incidenza nello spazio==
===Retta d'intersezione tra due piani===
[[File:Incidenza-tra-piani.jpg|446px|right]]
La retta d'intersezione tra due piani alfa<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> può essere individuata determinando due punti <math>P</math> e <math>Q</math> comuni a tali piani. Nel caso in cui tali piani alfa<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono tra loro paralleli si ha che tali punti <math>P</math> e <math>Q</math> sono entrambi impropri.
 
====Applicazione====
La determinazione di una retta <math>u</math> comune a due assegnati piani alfa<math>\alpha</math> e <math>\beta</math>, consiste nel eseguire, in ordine, le seguenti operazioni:
*determinareDeterminare un primo punto <math>P</math> comune ad alfa<math>\alpha</math> e <math>\beta</math>:
**siSi assume un piano ausiliario <math>\gamma</math>. Tra gli infiniti piani ausiliari che si possono assumere, spesso per la facilita d'uso, si sceglie quello che ha [[giacitura (geometria descrittiva)|giacitura]] verticale.
**siSi determinano <math>r</math> e <math>s</math>, rispettivamente: come rette d'intersezione tra il piano ausiliario <math>\gamma</math> con alfa<math>\alpha</math> e <math>\beta</math>.
**infineInfine si individua il punto cercato <math>P</math>, come intersezione tra le rette determinate <math>r</math> ede <math>s</math>.
*siSi ripetono le operazioni precedenti per determinare un secondo punto <math>Q</math>, anch'esso comune ai piani assegnati alfa<math>\alpha</math> e <math>\beta</math>. A tale fine e per facilitare tali operazioni, è preferibile assumere un secondo piano ausiliario delta che sia parallelo a <math>\gamma</math>. inIn questo modo delta seziona i piani alfa<math>\alpha</math> e <math>\beta</math> secondo due rette paralleli ada <math>r</math> e <math>s</math>.
 
===Punto d'intersezione di una retta con un piano===
[[File:Incidenza-retta-piano.jpg|right]]
Dati una retta ede un piano alfa<math>\alpha</math> non passante per <math>r</math> (vedi figura). Il punto d'intersezione <math>S</math> tra gli elementi dati, il quale può essere improprio quando <math>r</math> risulta parallela ad <math>\alpha</math>, altrimenti proprio, quando <math>r</math> è inclinata rispetto ad alfa<math>\alpha</math>. Per determinare tale punto <math>S</math>, si procede come di seguito:
*si fa passare per <math>r</math> un piano ausiliario <math>\beta.</math>;
*si determina una retta <math>s</math> come intersezione tra i piani α<math>\alpha</math> e β.<math>\beta</math>;
*si individua, in ultimo, il punto cercato <math>S</math> come intersezione tra la rette <math>r</math> e <math>s</math>.
Si tiene presente che nel caso in cui risulta che tali rette <math>r</math> e <math>s</math> sono tra loro paralleli, significa che <math>r</math> è parallela al piano α<math>\alpha</math>.
 
== Incidenza di una retta ''r'' con una superficie proiettiva ==
===Incidenza di ''r'' con un cilindro===
DatiDate le P.O.proiezioni ortogonali di un cilindro <math>K</math> e di una retta <math>r</math>, in cui è stabilito che <math>K</math> ha base circolare appartenente al [[primo piano di proiezione]] (pigreco)1<math>\pi_1</math> ede asse [[inclinato]] rispetto a tale piano, si vuole determinare eventuali punti d'incidenza di <math>r</math> con <math>K</math>.
 
Il concetto d'intersezione di una retta <math>r</math> con cilindro <math>K</math> si basa sul fatto che i piani che passano per il vertice di <math>K</math> ( cioè //parallele al suo asse) lo sezionano seconda due [[generatrice|generatrici]] (in questo caso sono due rette), e poiché un punto improprio (vertice del cilindro) e la retta data <math>r</math> individuano un solo piano alfa<math>\alpha</math>, per cui, è sufficiente individuare tale piano alfa<math>\alpha</math> per risolvere il problema in questione. Per inciso:
*laLa prima traccia di alfa<math>\alpha</math> si individua unendo la prima traccia di <math>r</math> con la prima traccia di un'altra retta <math>s</math> complanare ada <math>r</math> ede //parallele all'asse del cilindro <math>K</math>.
Per inciso:
*Dove la prima traccia di alfa<math>\alpha</math> interseca la base inferiore di <math>k</math>, passano le due generatrici, <math>m</math> e <math>n</math>, d'intersezione tra alfa<math>\alpha</math> e <math>K</math>.
*la prima traccia di alfa si individua unendo la prima traccia di r con la prima traccia di un'altra retta s complanare ad r ed // all'asse del cilindro K.
*In ultimo, i punti d'incidenza di <math>r</math> con <math>K</math>, si individuano come intersezione delle dette generatrici <math>m</math> e <math>n</math> con <math>r</math>.
*Dove la prima traccia di alfa interseca la base inferiore di k, passano le due generatrici, m n, d'intersezione tra alfa e K.
*In ultimo, i punti d'incidenza di r con K, si individuano come intersezione delle dette generatrici m n con r.
 
''Nota importante: Concon procedimento analogo, come sopra, è possibile determinare l'intersezione di un retta con qualsiasi tipo di [[superficie proiettiva]], come le [[superfici coniche]], [[piramide|le piramidi]], [[prisma|i prismi]].''
 
==Voci correlate==