Versione delle 19:07, 24 feb 2021 modifica 79.13.133.238 (discussione) Un dominio d'integrità non è necessariamente unitario Etichetta: Modifica visuale ← Differenza precedente		Versione delle 19:09, 24 feb 2021 modifica annulla 79.13.133.238 (discussione) Annullata la modifica 118873806 di 79.13.133.238 (discussione) Etichetta: Annulla Differenza successiva →
Riga 1: In [[algebra]], un '''dominio d'integrità''' è un [[anello commutativo]] ~~non~~con ~~nullo~~unità tale che <math>0 \neq 1</math> in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli [[numeri interi\|interi]] e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità. In altre parole, un '''dominio d'integrità''' è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'[[anello (algebra)\|anello]] <math>(A;+,\cdot)</math> è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni: Riga 8: La seconda legge viene detta [[legge di annullamento del prodotto]]. Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'[[ideale nullo]] <math>\{0\}</math> è [[Ideale primo\|primo]], o come [[sottoanello]] di un qualche [[Campo (matematica)\|campo]]. La condizione che <math>0\neq 1</math> serve all'unico scopo di escludere l'anello banale <math>\{0\}</math> con un solo elemento. == Esempi== Line 36 ⟶ 38: == Altre proprietà == Sia <math>A</math> un dominio d'integrità. * Se <math>a</math> e <math>x</math> sono due elementi di <math>A</math> tali che <math>ax=a</math> e <math>a</math> è diverso da zero, allora "si può semplificare" anche se <math>a</math> non è invertibile, e ottenere <math>x=1</math>: infatti abbiamo <math>a(x-1)=0</math> e quindi <math>x=1</math> perché <math>A</math> è un dominio d'integrità. * La [[Caratteristica (algebra)\|caratteristica]] di <math>A</math> è zero o un [[numero primo]]. * Se <math>A</math> ha caratteristica prima <math>p</math>, allora <math>f(x)=x^p</math> definisce un [[omomorfismo\|omomorfismo fra anelli]] [[funzione iniettiva\|iniettivo]] <math>f\colon A\to A</math>, detto ''[[omomorfismo di Frobenius]]''. Line 44 ⟶ 47: === Divisibilità === Se <math>a</math> e <math>b</math> sono elementi di un anello commutativo ~~unitario~~ <math>A</math>, diciamo che ''<math>a</math> divide <math>b</math>'' o ''<math>a</math> è un [[divisore]] di <math>b</math>'' o ''<math>b</math> è un multiplo di <math>a</math>'' se e solo se esiste un elemento <math>x</math> in <math>A</math> tale che <math>ax=b</math>. In questo caso scriviamo <math>a\|b</math>. Abbiamo le seguenti proprietà: * se <math>a\|b</math> e <math>b\|c</math>, allora <math>a\|c</math>; * se <math>a</math> divide <math>b</math>, allora <math>a</math> divide ogni multiplo di <math>b</math>; Line 61 ⟶ 64: Le due definizioni coincidono su <math>\Z</math>: un numero <math>n</math> è irriducibile (o primo) se e solo se <math>n</math> oppure <math>-n</math> è un numero primo. Se <math>A</math> è un dominio d'integrità ~~unitario~~, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che <math>p=ab</math> dove <math>a</math> e <math>b</math> sono elementi di <math>A</math>. Allora <math>p</math> divide <math>ab</math>. Quindi <math>p\|a</math> oppure <math>p\|b</math> perché <math>p</math> è primo. Supponiamo <math>p\|a</math>, cioè <math>a=pq</math>. Quindi <math>p=pqb</math>, ovvero <math>p(1-qb)=0</math>. Poiché <math>A</math> è un dominio di integrità e <math>p</math> non è lo zero, abbiamo <math>qb=1</math> e quindi <math>b</math> è un'unità. Quindi <math>p</math> è irriducibile. In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se <math>A</math> è un [[dominio a fattorizzazione unica]] i due concetti sono equivalenti.

Dominio d'integrità: differenze tra le versioni