Estensione di campi: differenze tra le versioni
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In [[algebra astratta]], una branca della [[matematica]], l''''estensione di campo''' è una costruzione importante della [[teoria dei campi]]. Parte dalla necessità, avendo un [[campo (matematica)|campo]] dato, di costruirne uno più grande che soddisfi certe proprietà aggiuntive che il campo di partenza non possiede.
==Definizione==
In maniera precisa, definiamo una '''estensione di campo''' come una coppia di [[campo (matematica)|campi]] <math>K\subseteq L</math> (cioè ''K'' è un sottocampo di ''L''): tale situazione si indicherà con ''L/K''<ref name=quoz>Occorre precisare che in questo caso non si sta compiendo alcuna operazione di passaggio al [[insieme quoziente]], come invece si fa per la creazione ad esempio dell'[[anello quoziente]]. Per tale motivo alcuni autori preferiscono la scrittura ''L:K''</ref>.
Data l'estensione ''L/K'' e un [[sottoinsieme]] ''A'' di ''L'', si indica con ''K(A)'' il più piccolo sottocampo di ''L'' che contiene ''K'' e ''A'' (che sarà dunque anch'esso un estensione di campo di ''K''): si dice che ''K(A)'' è ottenuto da ''K'' per ''aggiunta'' degli elementi di ''A''. Tale estensione risulta essere composta da tutte le espressioni di elementi di <math>K\cup A</math> ottenute mediante ripetizione delle operazioni di campo di ''L'' (somma, prodotto e inverso).
Se ''A'' è l'[[insieme finito]] <math>A=\{a_1,\ldots,a_n\}</math>, l'estensione si indica con <math>K(a_1,\ldots,a_n)</math> e si dice che ''K(A)'' è '''finitamente generato'''. Se in particolare <math>A=\{a\}</math>, ''K(a)'' si dice un''''estensione semplice''' di ''K''.
==Struttura lineare==
Se ''L/K'' è un'estensione di campi, allora su ''L'' abbiamo definita una moltiplicazione <math>L\times K \to L</math>, che non è altro che la moltiplicazione di ''L'' come campo ottenuta restringendo il secondo argomento a ''K''. Considerando questa moltiplicazione per gli "scalari" di ''K'' e la somma solita di ''L'' otteniamo una struttura di [[spazio vettoriale]] sopra ''K''. La [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] di questo spazio vettoriale si denota con ''[L:K]'' e si dice '''grado dell'estensione'''. Se tale grado è finito o infinito l'estensione si dirà '''finita''' o '''infinita'''.
Se ''F'' è una sottoestensione (cioè un sottocampo di ''L'' tale che <math>L\supseteq F \supseteq K</math>) allora vale la formula
:<math>[L:K]=[L:F][F:K]</math>
con valore puramente simbolico se uno dei valori è infinito.
==Estensioni algebriche==
L'importanza delle estensioni di campo si verifica innanzitutto nella possibilità che essi hanno di "raccogliere" più radici del campo precedente. Infatti una estensione si dice '''[[estensione algebrica|algebrica]]''' se ogni elemento di ''L'' è radice di un polinomio in ''K[X]''. Usando il [[lemma di Zorn]] è possibile dimostrare che ogni campo ha una estensione [[campo algebricamente chiuso|algebricamente chiusa]], cioè una [[chiusura algebrica]]: ad esempio <math>\mathbb{C}</math> è la chiusura algebrica di <math>\R</math>.
==Estensione di anelli==
Si può dare una costruzione analoga anche in generale per due [[anello (matematica)|anelli]]: ''R'' si dice un '''estensione di anello''' di ''S'' se ''S'' è un sottoanello di ''R''. Per indicare questa situazione si scrive ''R/S''<ref name=quoz/>.
A partire da un estensione di anelli ''R/S'' e da un sottoinsieme ''B'' di ''R'', è possibile costruire il più piccolo sottoanello di ''R'' contenente sia ''S'' che ''B'': tale anello si indica con ''S[B]'' e si può dimostrare che coincide con l'insieme delle possibili combinazioni di elementi di <math>S\cup B</math> mediante le operazioni di anello (somma e prodotto) di ''R''. Se in particolare <math>B=\{b_1,\ldots,b_n\}</math> l'estensione si indica con <math>S[b_1,\ldots,b_n]</math> e si dice '''finitamente generata''' e coincide con l'immagine dell'[[omomorfismo di anelli|omomorfismo]] di valutazione dall'[[anello di polinomi]] in ''n'' indeterminate a valori in ''R''
:<math>v:S[x_1,\ldots,x_n]\to R, f(x_1,\ldots,x_n)\mapsto f(b_1,\ldots,b_n)</math>.
==Voci correlate==
*[[Campo (matematica)|Campo]]
*[[Estensione algebrica]]
*[[Estensione separabile]]
*[[Chiusura algebrica]]
==Note==
<references/>
{{algebra}}
[[Categoria:Teoria dei campi]]
[[de:Körpererweiterung]]
[[en:Field extension]]
[[es:Extensión de cuerpo]]
[[fr:Extension de corps]]
[[ko:체의 확대]]
[[he:הרחבת שדות]]
[[ja:体の拡大]]
[[fi:Kuntalaajennus]]
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