Utente:Mat4free/Funzione abeliana: differenze tra le versioni

In [[matematica]], in particolare nellain [[geometria algebrica]], in [[Analisi complessa|nell'analisi complessa]] e in [[Teoriateoria algebrica dei numeri|nella teoria dei numeri algebrica]], una '''varietà abeliana''' è una [[Varietà algebricaproiettiva|varietà algebrica proiettiva]] che è anche un [[gruppo algebrico]], cioè ha una [[Gruppo (matematica)|legge di gruppo]] che può essere definita da [[funzioni regolari]]. Le varietà abeliane sono allo stesso tempo tra gli oggetti più studiati indella geometria algebrica e sono anche strumenti indispensabili per molte ricerche su altri argomenti in geometria algebrica e [[teoria dei numeri]].

Una varietà abeliana può essere definita da equazioni aventi coefficienti in qualsiasi [[Campo (matematica)|campo]]; si dice quindi che la varietà è definita ''su'' quel campo. Storicamente le prime varietà abeliane ada essere studiate furono quelle definite nelsul campo dei [[Numero complesso|numeri complessi]]. Tali varietà abeliane risultano essere esattamente quei [[toro (geometria)|tori]] complessi che possono essere incorporatiimmersi in uno [[spazio proiettivo]] complesso. Le varietà abeliane definite su [[Campo di numeri|campi numericidi numeri algebrici]] sono un caso speciale, importante anche dal punto di vista della teoria dei numeri. Le tecniche di [[Localizzazione (algebra)|Lelocalizzazione]] tecniche di localizzazione portano naturalmente da varietà abeliane definite su campi numerici a quelle definite su [[Campo finito|campi finiti]] e vari [[Campo locale|campi locali ]]. Poiché un campo numericodi numeri è il campo frazionedelle frazioni di un [[Dominiodominio di Dedekind|dominio Dedekind]], per ogni numero[[ideale primo]] diverso da zero del tuo [[Dominiodominio di Dedekind|dominio Dedekind]], esiste una mappafunzione dal dominio di Dedekind al quoziente del dominio di Dedekind per il primo, che è un campo finito per tutti i numeri primi finiti . Ciò induce una mappafunzione dal campo frazionedelle frazioni a qualsiasi campo finito di questo tipo. Data una curva con equazione definita sul campo numericodi numeri, possiamo applicare questa mappafunzione ai coefficienti per ottenere una curva definita su un campo finito, dove le scelte di campo finito corrispondono ai primi finiti del campo numericodi numeri.

Le varietà abeliane appaiono naturalmente come [[Varietà jacobiana|varietà giacobianejacobiane]] (le componenti connesse dello zero nelle [[varietà Picarddi Picard]]) e [[varietà albanesidi Albanese]] di altre varietà algebriche. La legge di gruppo di una varietà abeliana è necessariamente [[Commutatività|commutativa]] e la varietà non è non singolare. Una [[curva ellittica]] è una varietà abeliana di dimensione 1. Le varietà abeliane hanno dimensione di Kodaira 0.

All'inizio del diciannovesimo secolo, la teoria delle [[Funzione ellittica|funzioni ellittiche]] riuscì a fornire una base per la teoria degli [[Integrale ellittico|integrali ellittici]], e questo lasciò aperto un ovvionaturale percorso di ricerca. Le forme standard per gli integrali ellittici coinvolgevano le [[Radice quadrata|radici quadrate]] di polinomi [[Funzione cubica|cubici]] e quartici. Quando questi sarebbero stati sostituiti da polinomi di grado superiore, diciamo [[Equazione di quinto grado|quintichequintici]], cosa sarebbe successo?

Nel lavoro di [[Niels Henrik Abel|Niels Abel]] e [[Carl Jacobi]], è stata formulata la risposta: ciò implicherebbe funzioni di [[Funzioni di più variabili complesse|due variabili complesse]], aventi quattro ''periodi'' indipendenti (cioè vettori periodo). Questo ha dato il primo assaggio di una varietà abeliana di dimensione 2 (una '''superficie abeliana'''): quello che ora sarebbe chiamato lo ''Jacobiano di una curva iperellittica di genere 2''.

Dopo Abel e Jacobi, alcuni dei più importanti contributoricontributi alla teoria delle funzioni abeliane furono dati da [[Bernhard Riemann|Riemann]], [[Karl Weierstrass|Weierstrass]], [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]], [[Henri Poincaré|Poincaré]] e [[Émile Picard|Picard]]. L'argomento era molto popolare all'epoca,epocae avendoaveva già una vastaun'ampia letteratura.

Entro la fine del XIX secolo, i matematici avevano iniziato a utilizzare metodi geometrici nello studio delle funzioni abeliane. Alla fine, negli anni '20, [[Solomon Lefschetz|Lefschetz]] pose le basi per lo studio delle funzioni abeliane in termini di [[Toro (geometria)|tori]] complessi. Sembra anche essere il primo a usare il nometermine "varietà abeliana". Fu [[André Weil]] negli anni Quaranta a dare all'argomento le sue moderne basi nel linguaggio della geometria algebrica.

Oggi, le varietà abeliane costituiscono uno strumento importante nella [[teoria dei numeri]], nei [[Sistema dinamico|sistemi dinamici]] (più specificamenteprecisamente nello studio dei [[Sistema hamiltoniano|sistemi hamiltoniani ]]) e nella [[geometria algebrica]] (specialmente le [[varietà di Picard]] e le [[varietà di albaneseAlbanese]]).

Un toro complesso di dimensione ''<math>g''</math> è un [[Toro (geometria)|toro]] di dimensione reale 2<math>2g</math> ''g''con che porta launa struttura di una [[varietà complessa]]. Può sempre essere ottenuto come [[Spazio vettoriale quoziente|quoziente]] di uno spazio [[Spazio vettoriale|vettoriale]] ''complesso <math>g</math>-'' dimensionale dacon un [[Reticolo (gruppo)|reticolo]] di rango 2 ''g''<math>2g.</math> Una varietà abeliana complessa di dimensione ''<math>g''</math> è un toroidetoro complesso di dimensione ''<math>g''</math> che è anche una [[Varietà proiettiva|varietà algebrica]] proiettiva]] nel campo dei numeri complessi. Poiché sono tori complessi, le varietà abeliane portanohanno launa struttura di un [[Gruppo (matematica)|gruppo]] . Un [[morfismo]] di varietà abeliane è un morfismo delle varietà algebriche sottostanti che preserva l'[[Elementoelemento neutro|elemento identità]] per ladella struttura deldi gruppo. '''Un'[[isogenia''']] è un morfismo finito[[Funzione asuriettiva|suriettivo]] unocon [[Nucleo (matematica)|nucleo]] finito.

Quando un toro complesso portaha launa struttura di una varietà algebrica, questa struttura è necessariamente unica. Nel caso ''<math>g'' = 1,</math> la nozione di varietà abeliana è la stessa di quella di [[curva ellittica]], e ogni toro complesso dà origine a taleuna curva; perellittica. ''g''Per <math>g> 1</math> è noto da [[Bernhard Riemann|Riemann]] che la condizione di ammettere una struttura di varietà algebrica impone dei vincoli extraaggiuntivi su un toro complesso.

Il seguente criterio di Riemann decide se un dato toro complesso è o meno una varietà abeliana, cioè se può essere incorporatoimmerso o meno in uno spazio proiettivo. Sia ''<math>X''</math> un ''toro <math>g</math>-'' dimensionale dato comeda ''<math>X'' = ''V'' / ''L'',</math> dove ''<math>V''</math> è uno spazio vettoriale complesso di dimensione ''ge'' ''<math>g</math> e <math>L''</math> è un [[Reticolo (gruppo)|reticolo]] in ''<math>V.''</math> Allora ''<math>X''</math> è una varietà abeliana se e solo se esiste una [[Forma sesquilineare|forma hermitiana]] definita positiva su ''<math>V</math> la'' cui [[Numero complesso|parte immaginaria]] assume valori [[Numero intero|integraliinteri]] ''su <math>L''\times &#xD7; ''L.''</math> Una tale forma su ''<math>X''</math> è solitamente chiamata [[forma di Riemann]] (non degenere). Scegliendo una base per ''<math>V''</math> e ''<math>L'',</math> si può rendere questa condizione più esplicita. Esistono diverse formulazioni equivalenti di questo; tutte sono conosciute come le ''condizioni di Riemann''.

=== Lo Jacobianojacobiano di una curva algebrica ===

Ogni curva algebrica ''<math>C''</math> di [[Genere (matematica)|genere]] ''<math>g'' ≥\ge 1</math> è associata ada una varietà abeliana ''<math>J''</math> di dimensione ''<math>g'',</math> mediante una mappafunzione analitica di ''<math>C''</math> in ''<math>J.''</math> Come toro, ''<math>J''</math> portaha una [[Gruppo (matematica)|struttura di gruppo]] commutativa e l'immagine di ''<math>C''</math> genera ''J'' come gruppo. Più precisamente, ''J'' è coperto da ''C'' : <refmath>{{Cita web|url=http://people.maths.ox.ac.uk/flynn/arts/art21.pdf|dataaccesso=14 January 2015}} ''J'' is covered by ''C''^''g'':</refmath> qualsiasicome punto in ''J'' proviene da una ''g-'' coppia di punti in ''Cgruppo.'' Lo studio delle [[forma differenziale|forme differenziali]] su ''<math>C'',</math> che danno origine agli ''[[integrale abeliano|integrali abeliani'']] con cui è iniziata la teoria, può essere derivato dalla più semplice teoria dei differenziali tradotta-invarianteinvarianti per traslazione su ''<math>J.''</math> La varietà abeliana ''<math>J''</math> è chiamata '''varietà jacobiana''' di ''<math>C'',</math> per ogni curva non singolare ''<math>C''</math> sui numeri complessi. Dal punto di vista della [[geometria birazionale]], il suo campo di funzioni è il campo fissato dal [[gruppo simmetrico]] su ''<math>g''</math> lettere che agisce sul campo di funzioni di ''C'' <supmath>''C^g''.</supmath> .

Una '''funzione abeliana''' è una [[funzione meromorfa]] su una varietà abeliana, che può essere considerata quindi come una funzione periodica di ''<math>n''</math> variabili complesse, aventi 2 ''n''<math>2n</math> periodi indipendenti;. equivalentementeEquivalentemente, è una funzione nel campo delladi funzionefunzioni di una varietà abeliana. Ad esempio, nel diciannovesimo secolo c'era molto interesse per gli integrali iperellittici che possono essere espressi in termini di integrali ellittici. Ciò si riduce a chiedere che ''<math>J''</math> sia o meno un prodotto di curve ellittiche, a meno di isogenia.

=== TeoremiTeorem importantidi Matsusaka ===

Un importante teorema di struttura delle varietà abeliane è '''il teorema di Matsusaka'''. AffermaEsso afferma che su un [[campo algebricamente chiuso]] ogni varietà abeliana <math>A</math> è il quoziente dello Jacobianojacobiano di una curva; valeossia aesiste dire,un c'èmorfismo qualchesuriettivo surrogazione delledi varietà abeliane <math>J \to A</math> dovecon <math>J</math> è ununo jacobiano di qualche curva algebrica. Questo teorema rimane vero se il campo fondamentalebase è infinito.<ref> Milne, J.S., Jacobian varieties, in Arithmetic Geometry, eds Cornell and Silverman, Springer-Verlag, 1986</ref>