Utente:Mat4free/Funzione abeliana: differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Nessun oggetto della modifica
Riga 26:
Il seguente criterio di Riemann decide se un dato toro complesso è o meno una varietà abeliana, cioè se può essere immerso o meno in uno spazio proiettivo. Sia <math>X</math> un toro <math>g</math>-dimensionale dato da <math>X=V/L,</math> dove <math>V</math> è uno spazio vettoriale complesso di dimensione <math>g</math> e <math>L</math> è un [[Reticolo (gruppo)|reticolo]] in <math>V.</math> Allora <math>X</math> è una varietà abeliana se e solo se esiste una [[Forma sesquilineare|forma hermitiana]] definita positiva su <math>V</math> la cui [[Numero complesso|parte immaginaria]] assume valori [[Numero intero|interi]] su <math>L\times L.</math> Una tale forma su <math>X</math> è solitamente chiamata [[forma di Riemann]] (non degenere). Scegliendo una base per <math>V</math> e <math>L,</math> si può rendere questa condizione più esplicita. Esistono diverse formulazioni equivalenti tutte conosciute come le ''condizioni di Riemann''.
 
=== LoLa jacobianojacobiana di una curva algebrica ===
Ogni curva algebrica <math>C</math> di [[Genere (matematica)|genere]] <math>g\ge 1</math> è associata a una varietà abeliana <math>J</math> di dimensione <math>g,</math> mediante una funzione analitica di <math>C</math> in <math>J.</math> Come toro, <math>J</math> ha una [[Gruppo (matematica)|struttura di gruppo]] commutativa e l'immagine di <math>C</math> genera <math>J</math> come gruppo. Lo studio delle [[forma differenziale|forme differenziali]] su <math>C,</math> che danno origine agli [[integrale abeliano|integrali abeliani]] con cui è iniziata la teoria, può essere derivato dalla più semplice teoria dei differenziali invarianti per traslazione su <math>J.</math> La varietà abeliana <math>J</math> è chiamata ''varietà jacobiana'' di <math>C,</math> per ogni curva non singolare <math>C</math> sui numeri complessi. Dal punto di vista della [[geometria birazionale]], il suo campo di funzioni è il campo fissato dal [[gruppo simmetrico]] su <math>g</math> lettere che agisce sul campo di funzioni di <math>C^g.</math>
 
Riga 73:
Una ''polarizzazione'' di una varietà abeliana è un'[[isogenia]] da una varietà abeliana alla sua duale che è simmetrica rispetto alla ''doppia dualità'' di varietà abeliane e tale che il pullback del fibrato di Poincaré rispetto al morfismo del grafico associato è ampio (quindi è analoga a una [[forma quadratica]] definita positiva). Le varietà abeliane polarizzate hanno gruppi degli automorfismi finiti. Una ''polarizzazione principale'' è una polarizzazione che è un isomorfismo. Le jacobiane delle curve sono naturalmente dotate di una polarizzazione principale data dalla scelta di un punto base razionale arbitrario sulla curva. La curva può essere ricostruita dalla sua jacobiana polarizzata quando il genere è maggiore di 1. Non tutte le varietà abeliane principalmente polarizzate sono jacobiane di curve (si veda il [[problema di Schottky]]). Una polarizzazione induce un'[[involuzione di Rosati]] sull'anello degli endomorfismi <math>\mathrm{End}(A)\otimes\mathbb{Q}</math> di <math>A.</math>
 
=== Polarizzazioni sui numeri complessi?????? ===
Oltre aiSui numeri complessi, una '''varietà abeliana polarizzata''' può anche essere definita come una varietà abeliana ''<math>A''</math> insieme acon una scelta di una [[forma di Riemann]] ''<math>H.''</math> Due forme di Riemann ''H'' <submath>1H_1</submath> e ''H'' <submath>2H_2</submath> sono chiamate [[Relazione di equivalenza|equivalenti]] se ciesistono sonodue numeri interi positivi ''<math>n''</math> e ''m'' tali che ''nH'' <submath>1m</submath> =tali ''mH''che <submath>2nH_1=mH_2.</submath> . Una scelta di una classe di d'equivalenza delledi forme di Riemann su ''<math>A''</math> è chiamata '''polarizzazione''' di ''<math>A.''</math> Un morfismo di varietà abeliane polarizzate è un morfismo ''<math>A''\to → ''B''</math> di varietà abeliane tale che il [[Pull-back|pullback]] ad <math>A</math> della forma di Riemann su ''<math>B'' ad ''A''</math> è equivalente alla forma data su ''<math>A.''</math>
 
== Schema abeliano ==
Si può anche definire louna varietà abeliana come [[Schema (matematica)|schema delle]] varietàe abeliane,come teoricamenteschema esu relativouno a unaschema base . Ciò consente un trattamento uniforme di fenomeni come la riduzione modmodulo ''<math>p''</math> delle varietà abeliane (vedisi Aritmeticaveda [[aritmetica delle varietà abeliane ]]) e famiglielo studio di parametrifamiglie delleparametrizzate di varietà abeliane. Uno '''schema abeliano''' su uno schema di base ''<math>S''</math> di dimensione relativa ''<math>g''</math> è uno [[schema digruppo]] gruppi[[Morfismo correttoliscio|liscio]] e regolare[[Morfismo proprio|proprio]] su ''<math>S</math> le'' cui [[Fibra geometrica|fibre geometriche]] sono [[Spazio connesso|connesse]] e di dimensione ''<math>g'' .</math> Le fibre di uno schema abeliano sono varietà abeliane, quindi si potrebbe pensare a uno schema abeliano su <math>S</math> come a una famiglia di varietà abeliane parametrizzate da&nbsp;'' <math>S.''</math>
 
Per uno schema abeliano ''<math>A'' </math> ''su <math>S'',</math> il gruppo di ''n''dei punti di <math>n</math>-torsione forma uno [[schema di gruppo piatto finito piatto]]. L'unione dei ''p''punti <supmath>''p^n''</supmath> punti di -torsione, per ogni ''<math>n'',</math> forma un [[Gruppo p-divisibile|gruppo <math>p </math>-divisibile ]]. Le [[Teoria delle deforamzioni|deformazioni]] degli schemi abeliani sono determinate, secondoper il [[teorema di Serre-Tate]], governate dalle proprietà di deformazione dei gruppi ''<math>p</math>-divisibili associati.''
 
=== Esempio?????? ===
Permettere <math>A,B\in \mathbb{Z}</math> essere tale <math>x^3+Ax+B</math> non ha radici complesse ripetute. Quindi il discriminante <math>\Delta=-16(4A^3+27B^2)</math> è diverso da zero. Permettere <math>R=\Z[1/\Delta]</math>, così <math>\operatorname{Spec} R</math> è un sottoschema aperto di <math>\operatorname{Spec} \mathbb{Z}</math> . Poi <math>\operatorname{Proj} R[x,y,z]/(y^2 z - x^3 - A x z^2 - B z^3)</math> è uno schema abeliano finito <math>\operatorname{Spec} R</math> . Può essere esteso a un modello Néron oltre <math>\operatorname{Spec} \mathbb{Z}</math>, che è uno schema di gruppo fluido <math>\operatorname{Spec} \mathbb{Z}</math>, ma il modello di Néron non è corretto e quindi non è uno schema abeliano finito <math>\operatorname{Spec} \mathbb{Z}</math> .