Teorema di Hopf-Rinow: differenze tra le versioni
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L'enunciato del teorema di Hopf-Rinow è il seguente.
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
Sia <math>M</math> una [[varietà riemanniana]] [[spazio connesso per archi|connessa per archi]].
# <math>M</math> è uno [[spazio metrico]] [[spazio completo|completo]].
# I sottoinsiemi [[insieme chiuso|chiusi]] e [[insieme limitato|limitati]] in <math> M</math> sono [[spazio compatto|compatti]].
# Ogni [[geodetica]] in <math>M</math> può essere prolungata
</div>
== Esempi ==
=== Spazio euclideo ===
Lo [[spazio euclideo]] <math>\R^n</math> con
=== Varietà compatte ===
Una varietà riemanniana compatta è sempre completa. Non è vero
=== Rimozione di un punto ===
Rimuovendo un punto <math>p</math> da una varietà riemanniana <math> M </math> qualsiasi si ottiene una varietà riemanniana <math>N</math> non completa.
* Una [[successione (matematica)|successione]] di punti in <math>N</math> convergente a <math>p</math> è [[successione di Cauchy|di Cauchy]] in <math>N</math> ma non converge.
* Sia <math>D</math> una palla chiusa di raggio <math>r</math> centrata in <math>p</math>. L'insieme <math>D\setminus\{p\}</math> è chiuso e limitato in <math>N</math>, ma non compatto.
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