Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

Ristrutturati alcuni periodi, eliminate D eufoniche non necessarie, apposti due template chiarire in presenza di ambiguità, eliminato metalinguaggio.
(→‎Coordinate generalizzate: ho sostituito il termine "posizioni" (nella frase finale) con il termine "configurazioni", di valenza più generale)
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(Ristrutturati alcuni periodi, eliminate D eufoniche non necessarie, apposti due template chiarire in presenza di ambiguità, eliminato metalinguaggio.)
</math>
 
{{Chiarire|Queste|Ambiguo}} costituiscono un [[insieme di generatori]] di uno [[spazio vettoriale]] n-dimensionale, che prende il nome di [[spazio delle configurazioni]] del sistema, mentre non è necessario che siano [[linearmente indipendenti]]. {{Chiarire|Ciò non è vero|Ambiguo: non è vero "che siano linearmente indipendenti" oppure non * vero che "non è necessario che siano linearmente indipendenti"?}} ad esempio in presenza di [[Vincolo (meccanica razionale)|vincoli]] che legano tra di loro alcune tra le <math>r_j</math>.
 
=== Coordinate cicliche ===
Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate, una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella. Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi nello spazio tridimensionale può avere fino a <math>6N</math> coordinate generalizzate, includendo tre assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni (vincoli olonomi) e le velocità delle particelle (vincoli anolonomi).
 
Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà, tre per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella, ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 grado di vincolo). Una scelta conveniente delle variabili generalizzate consiste, in questo caso, nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazioneorientamento nello spazio della retta che congiunge le due particelle. In questo modo, abbiamoci sono 5 coordinate indipendenti tra loro.
 
Un corpopunto costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale, ad esempio una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>, ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che unUn moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
 
Analogamente, un corpo vincolato ada una [[superficie (matematica)|superficie]], anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni, ha due gradi di libertà, quindi una scelta di coordinate conveniente può essere <math>\{x, y, z\} = \{\theta, A\}</math>, dove <math>\theta</math> e <math>A</math> sono, rispettivamente, l'angolo e la superficie spazzate dal vettore posizione. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\{r_1, r_2\} = \{\theta,\phi\}</math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]; inoltre, la coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantienesi trova a una distanza costante dal centro della sfera.
 
Un doppio [[pendolo]] costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani <math>(x,y)</math>, con l'asse <math>y</math> verticale discendente, da quattro [[coordinate cartesiane]] <math>\{x_1, y_1, x_2, y_2\}</math>, ma il sistema ha solo due [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], ede un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili generalizzate l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo <math>\{r_1, r_2\} = \{\theta_1, \theta_2\}</math> otteniamosi otttengono le seguenti relazioni:
 
:<math>\{x_1, y_1\} = \{l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \}</math>
==Coordinate generalizzate e spazio delle fasi==
{{vedi anche|Spazio delle fasi}}
Poiché lo spazio delle configurazioni ha dimensione pari al numero di gradi di libertà del sistema, all'internoal disuo essointerno è possibile descrivere soltanto la posizione di ciascun punto. Per descrivere il moto di ogni punto, che equivale a definire lo stato del sistema, è necessario aggiungere tante variabili quante sono le coordinate generalizzate, di modo che lo spazio delle fasi abbia dimensione doppia rispetto allo spazio delle configurazioni. Tuttavia, non esiste un modo univoco per definire i generatori dello spazio delle fasi.
 
A ogni coordinata generalizzata <math>q_i</math> è associata a una velocità generalizzata <math>\dot q_i</math>, definitacosì comedefinita:
 
:<math>\dot q_i = \frac{\partial q_i}{\partial t}</math>
 
Nell'ipotesi in cui le coordinate sonosiano [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] fra loro, esse dipendono solo dal tempo:
 
:<math>\dot q_i=\frac{dq_i}{dt}</math>
 
infine, valesi chedefinisce <math>\dot\mathbf q = (\dot q_i)_{i=1,\dots,n}</math>. Si definisce [[Lagrangiana]] la funzione:
 
:<math>\mathcal{L}(\dot\mathbf q, \mathbf q) = T(\dot\mathbf q, \mathbf q) - U(\mathbf q)</math>
 
dove <math>T</math> è l'energia cinetica e <math>U</math> è l'energia potenziale. Il ''momento'' ''coniugato'' alla coordinata <math>q_i</math> è definito come:
 
:<math>p_i = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot q_i}</math>
 
inoltre valesi chedefinisce <math>\mathbf p = (p_i)_{i=1,\dots,n}</math>. Secondo la [[Meccanica lagrangiana|formulazione lagrangiana]] della meccanica razionale, come generatori dello spazio delle fasi si usa la coppia di ''coordinate lagrangiane'' <math>(\mathbf q,\dot\mathbf q)</math>, mentre secondo la [[Meccanica hamiltoniana|formulazione hamiltoniana]], si utilizza la coppia di ''coordinate hamiltoniane'' <math>(\mathbf q, \mathbf p)</math>.
 
== Velocità e accelerazione generalizzate ==
Sia dato un sistema di <math>N</math> particelle in <math>D</math> [[dimensioni]], quindi con al massimo <math>N\times D</math> gradi di libertà. L'n-esima particella ha come coordinata d-esima <math>(X_{nd})</math>, e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili comecon unala [[matrice]] <math>\underline\underline X \in \mathbb{R}^{N \times D}</math>. Si può passare ada un sistema di riferimento formato da <math>N\times D</math> coordinate generalizzate se esistono le <math>D+1</math> equazioni di trasformazione tra le <math>D</math> coordinate cartesiane e le generalizzate:
 
:<math>x_d = x_d \left (q_n, t \right )</math>
 
Usando la relazione vista in precedenza, queste equazioni possono infatti essere derivate nelrispetto al tempo, ottenendo le [[velocità]]:
 
:<math>\dot x_d
:<math>\delta W_k=\sum_{i=1}^I \mathbf F_k\cdot \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\delta q_i=\sum_{i=1}^I F_{k,i} \cdot \delta q_i</math>
 
Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è cioè interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. AL'approccio lagrangiano risulta quindi particolarmente utile a livello [[ingegneria|ingegneristico]], dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta q_i</math>, oppureo alle [[sollecitazioni esterne]] imposte realmente dai vincoli, l'approccio lagrangiano risulta quindi particolarmente utile.
 
In base alle [[equazioni di Lagrange]] del I tipo e in [[forma di Nielsen]] si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema:
:<math>Q_i = {\partial{T}\over \partial{\dot q_i}} - 2 {\partial{T}\over \partial q_i}</math>,
 
Si noti ancora che laLa forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine <math> - \frac{\partial T}{\partial q_i}</math> dalla derivata temporale della quantità di moto <math>\dot P_i</math>, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di [[forza]] basata sul [[secondo principio della dinamica]], valida solo per la dinamica newtoniana.
 
==Quantità di moto generalizzata e momento coniugato==
:<math>P_i = \int F_i - \frac{\partial T}{\partial q_i} dt = p_i - \int \frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math>
 
e differiscono quindi per il secondo termine <math> - \int\frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math>differiscono dal momento coniugato (alla coordinata posizione <math> q_i</math>) <math>p_i = \int F_i dt</math> per il secondo termine <math> - \int\frac{\partial T}{\partial q_i} dt</math>, cui si arriverebbe tentando di generalizzare la definizione newtoniana di [[forza]] come derivata totale temporale della quantità di moto, cioè il [[secondo principio della dinamica]].
 
InChiaramente in [[coordinate cartesiane]], la quantità di moto generalizzata ritorna chiaramentead essere la [[quantità di moto]] semplice, mentre in [[coordinate sferiche]] diventa il [[momento angolare]]. In generale però non è sempre possibile darne un'interpretazione intuitiva.
 
==Bibliografia==
Utente anonimo