Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni
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Un sistema di <math>N</math> particelle nello spazio <math>D</math>-dimensionale può avere fino a <math>N\times D</math> gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate, una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella. Un sistema di ''<math>N</math>'' corpi rigidi nello spazio tridimensionale può avere fino a <math>6N</math> coordinate generalizzate, includendo tre assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni (vincoli olonomi) e le velocità delle particelle (vincoli anolonomi).
Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà, tre per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella, ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 grado di vincolo). Una scelta conveniente delle variabili generalizzate consiste, in questo caso, nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'
Un punto costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale, ad esempio una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>, ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.
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Analogamente, un corpo vincolato a una [[superficie (matematica)|superficie]], anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni, ha due gradi di libertà, quindi una scelta di coordinate conveniente può essere <math>\{x, y, z\} = \{\theta, A\}</math>, dove <math>\theta</math> e <math>A</math> sono, rispettivamente, l'angolo e la superficie spazzate dal vettore posizione. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\{r_1, r_2\} = \{\theta,\phi\}</math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]; inoltre, la coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera si trova a una distanza costante dal centro della sfera.
Un doppio [[pendolo]] costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani <math>(x,y)</math>, con l'asse <math>y</math> verticale discendente, da quattro [[coordinate cartesiane]] <math>\{x_1, y_1, x_2, y_2\}</math>, ma il sistema ha solo due [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]], e un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili generalizzate l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo <math>\{r_1, r_2\} = \{\theta_1, \theta_2\}</math> si
:<math>\{x_1, y_1\} = \{l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \}</math>
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