Coordinate generalizzate: differenze tra le versioni

chiarisco+fix vari
m (si chiama "orientazione" non "orientamento" + fix grammatica)
(chiarisco+fix vari)
 
==Definizione==
Dato un sistema meccanico con <math>n</math> gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate, per esempio [[coordinate cartesiane|cartesiane]], nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore <math>\mathbf r=(r_j)_{j=1,\dots,m}\in\mathbb{R}^m</math>, con <math> m\geq n</math>, è possibile esprimere ogni variabile <math>r_j</math> rispetto al vettore <math> \mathbf q=(q_i)_{i=1,\dots,n}\in A\subset\mathbb{R}^n</math> attraverso una funzione regolare <math>\Phi :\colon A \to \mathbb{R}^m</math>. Ogni <math>q_i</math> è detta ''variabile'' o ''coordinata generalizzata'':
 
:<math>
</math>
 
{{Chiarire|Queste|Ambiguo}}Le coordinate <math>q_i</math> costituiscono un [[insieme di generatori]] di uno [[spazio vettoriale]] <math>n</math>-dimensionale, che prende il nome di [[spazio delle configurazioni]] del sistema, mentrema non è necessario che siano [[linearmente indipendenti]]. {{Chiarire|Ciò non è vero|Ambiguo: non è vero "che siano linearmente indipendenti" oppure non * vero che "non è necessario che siano linearmente indipendenti"?}} adAd esempio in presenza di [[Vincolo (meccanica razionale)|vincoli]] che legano tra di loro alcune tra le <math>r_j,</math> le coordinate <math>q_i</math> potrebbero essere linearmente dipendenti.
 
=== Coordinate cicliche ===
Dato uno sistema meccanico con <math>n</math> gradi di libertà con <math>\{q_1,\dotsldots,q_n\}</math> coordinate generalizzate, se una funzione del moto non dipende dall'<math>i</math>-esima coordinata generalizzata <math>q_i</math>, la coordinata è detta '''ciclica''' per la funzione.
 
===Esempi===
Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio tridimensionale ha 6 gradi di libertà, tre per ogni coordinata cartesiana di ciascuna particella, ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 grado di vincolo). Una scelta conveniente delle variabili generalizzate consiste, in questo caso, nell'usarne tre per localizzare il [[centro di massa]] del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle. In questo modo ci sono 5 coordinate indipendenti tra loro.
 
Un punto costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale, ad esempio una [[Curva_(matematica)|curva]] regolare <math>\varphi :\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3,\ t\mapsto\mathbf x</math>, ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea <math>q=t</math>, cioè la variabile che parametrizza la curva. Un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ada una dimensione.
 
Analogamente, un corpo vincolato a una [[superficie (matematica)|superficie]], anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni, ha due gradi di libertà, quindi una scelta di coordinate conveniente può essere <math>\{x, y, z\} = \{\theta, A\}</math>, dove <math>\theta</math> e <math>A</math> sono, rispettivamente, l'angolo e la superficie spazzate dal vettore posizione. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è <math>\{r_1, r_2\} = \{\theta,\phi\}</math>, dove <math>\theta</math> e <math>\phi</math> sono le coordinate di angolo provenienti dalle [[coordinate sferiche]]; inoltre, la coordinata <math>r</math> è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera si trova a una distanza costante dal centro della sfera.
A ogni coordinata generalizzata <math>q_i</math> è associata una velocità generalizzata <math>\dot q_i</math> così definita:
 
:<math>\dot q_i = \frac{\partial q_i}{\partial t}.</math>
 
Nell'ipotesi in cui le coordinate siano [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] fra loro, esse dipendono solo dal tempo:
 
:<math>\dot q_i=\frac{dq_i}{dt},</math>
 
infine si definisce <math>\dot\mathbf q = (\dot q_i)_{i=1,\dots,n}</math>. Si definisce [[Lagrangiana]] la funzione:
 
:<math>\mathcal{L}(\dot\mathbf q, \mathbf q) = T(\dot\mathbf q, \mathbf q) - U(\mathbf q),</math>
 
dove <math>T</math> è l'energia cinetica e <math>U</math> è l'energia potenziale. Il ''momento'' ''coniugato'' alla coordinata <math>q_i</math> è definito come:
 
:<math>p_i = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot q_i}.</math>
 
inoltreInoltre si definisce <math>\mathbf p = (p_i)_{i=1,\dots,n}</math>. Secondo la [[Meccanica lagrangiana|formulazione lagrangiana]] della meccanica razionale, come generatori dello spazio delle fasi si usa la coppia di ''coordinate lagrangiane'' <math>(\mathbf q,\dot\mathbf q)</math>, mentre secondo la [[Meccanica hamiltoniana|formulazione hamiltoniana]], si utilizza la coppia di ''coordinate hamiltoniane'' <math>(\mathbf q, \mathbf p)</math>.
 
== Velocità e accelerazione generalizzate ==
Sia dato un sistema di <math>N</math> particelle in <math>D</math> [[dimensioni]], quindi con al massimo <math>N\times D</math> gradi di libertà. L'<math>n</math>-esima particella ha come coordinata d-esima <math>(X_{nd})</math>, e quindi le posizioni del sistema sono rappresentabili con la [[matrice]] <math>\underline\underline X \in \mathbb{R}^{N \times D}</math>. Si può passare a un sistema di riferimento formato da <math>N\times D</math> coordinate generalizzate se esistono le <math>D+1</math> equazioni di trasformazione tra le <math>D</math> coordinate cartesiane e le generalizzate:
 
:<math>x_d = x_d \left (q_n, t \right ).</math>
 
Usando la relazione vista in precedenza, queste equazioni possono essere derivate rispetto al tempo, ottenendo le [[velocità]]:
</math>
 
e quindi il vettore '''<math>D</math>'''-dimensionale velocità è dato da:
 
:<math>\dot {\mathbf x}_{(\mathbf q)} = \frac{\partial \mathbf x}{\partial t} + \nabla\mathbf x\cdot\dot\mathbf q.</math>
 
Analogamente, applicando ancora una volta la regola della catena, è possibile ricavare le accelerazioni:
= \frac {d}{dt}\dot x_d
= \frac{\partial^2 x_d}{\partial t^2} + \sum_{i=1}^{ND} \left[\frac{\partial x_d}{\partial q_i}\frac{\partial^2 q_i}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 x_d}{\partial q_i^2}\left(\frac{\partial q_i}{\partial t}\right)^2\right]
= \frac{\partial^2 x_d}{\partial t^2} + \sum_{i=1}^{ND}\left(\frac{\partial x_d}{\partial q_i}\ddot q_i + \frac{\partial^2 x_d}{\partial q_i^2}\dot q_i^2\right).
</math>
 
pertantoPertanto, il vettore '''<math>D</math>'''-dimensionale accelerazione è pariuguale a:
 
:<math>\ddot\mathbf x_{(\mathbf q)} = \frac{\partial^2 \mathbf x}{\partial t^2} + \nabla\mathbf x\cdot\ddot\mathbf q
+ \overline{\nabla}^2\mathbf x\cdot\dot\mathbf q^2.</math>
 
==Energia cinetica in coordinate generalizzate==
L'energia cinetica di '''<math>N</math>''' particelle è data in [[meccanica newtoniana]] '''<math>D</math>'''-dimensionale come:
 
:<math> T :\colon \R^{N \times D} \to \R </math>
:<math>T_{(\mathbf x)} = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N} m_k (\dot {\mathbf x}_k \cdot \dot {\mathbf x}_k) .</math>
 
Esprimendo gli '''<math>N</math>''' vettori posizione newtoniani <math>\mathbf x_{(\mathbf q)}</math>, delle particelle rispetto ai '''<math>D</math>''' assi cartesiani, in funzione delle '''<math>I</math>''' coordinate generalizzate <math>q_i</math>:
 
:<math>T_{(\mathbf q)}=\frac {1}{2} \sum_{k=1}^{N}m_k \left(\frac{\partial \mathbb x_k}{\partial t} + \sum_{i=1}^{I}\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\dot q_i\right)\cdot \left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} + \sum_{j=1}^{I}\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_j}\dot q_j\right).</math>
\left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} + \sum_{j=1}^{I}\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_j}\dot q_j\right) </math>.
 
Svolgendo e raccogliendo nelle velocità generalizzate <math>\dot q_i</math>:
 
:<math>T_{(\mathbf q)}= \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^N {m_k} \left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t}\right)^2+ \sum_{i=1}^{I}\sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_k)^2}{\partial t\, \partial q_i} \dot q_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} \sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_n)^2}{\partial q_i \partial q_j} \dot q_i \dot q_j.</math>
\frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} \sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_n)^2}{\partial q_i \partial q_j} \dot q_i \dot q_j </math>
 
Se
se:<math>\quad T_{(\bar 0)} = \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^N {m_k} \left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t}\right)^2; </math>
:<math> \quad \nabla_i T_{(\bar 0)} = \frac{\partial1}{\partial q_i2} \sum_{k = 1}^N {m_k} \mathbf x_k left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} = \sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_kright)^2}{\partial q_i \partial t}, \, </math> per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate: <math>\nabla m_k = \bar 0, \,; </math>
:<math>\nabla_i T_{(\bar 0)} = \frac{\partial}{\partial q_i} \sum_{k = 1}^N m_k \mathbf x_k \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} = \sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_k)^2}{\partial q_i \partial t}, \, </math> per sistemi classici in cui la massa non dipende dalle coordinate generalizzate: <math>\nabla m_k = \bar 0,</math>
:<math>H_{ij} T_{(\bar 0)} = \frac{{\partial}^2}{\partial q_i \partial q_j} \sum_{k = 1}^N m_k (\mathbf x_k)^2 = \sum_{k = 1}^N {m_k} \frac{(\partial \mathbf x_k)^2}{\partial q_i \partial q_j}, \, </math> per sistemi classici in cui la [[Massa (fisica)|massa]] non dipende dalle coordinate generalizzate: <math>\underline{\underline H} m_k = \bar 0.</math>
 
Quindi riassumendo vettorialmente l'identità scalare:
 
:<math>T_{(\mathbf q)}= T_{(\bar 0)} + \sum_{i=1}^{I}\nabla_i T_{(\bar 0)} \dot q_i + \frac{1}{2}\sum_{i, j=1}^{I} H_{ij} T_{(\bar 0)} \dot q_i \dot q_j.</math>
 
siSi ottiene infine:
 
:<math>T_{(\mathbf q)}= T_{(\bar 0)} + \nabla T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} + \frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot \underline \underline H T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} </math>
:<math> T :\colon \R^I \to \R </math>
 
L'energia cinetica in coordinate generalizzate è in conclusione una [[ Serie di Taylor#Serie di Taylor in più variabili|serie di Taylor in I variabili]] [[forma quadratica|del second'ordine]] nel vettore velocità <math>\dot {\mathbf q}</math>, definita positiva poiché lo è l'[[hessiana]] <math>H_{ij}</math> che vi compare. Inoltre i due termini lineare <math>\nabla T_{(\bar 0)}</math> e costante <math>T_{(\bar 0)}</math> dipendono in generale dal tempo: nel caso di un '''sistema olonomo''' l'energia cinetica si riduce a
 
:<math>T|_{\left(\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t} = 0\right)} = \frac{1}{2} \dot {\mathbf q} \cdot \underline \underline H_{(\mathbf q)}T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} = \frac{1}{2} \mathbf p \cdot \dot {\mathbf q}.</math>
 
È importante ricordare che le coordinate generalizzate rispetto a cui si determina l'energia cinetica hanno l'ulteriore vantaggio di non dovere necessariamente essere [[sistema di riferimento inerziale|inerziali]], a differenza di quelle cartesiane.
 
==Forza generalizzata==
Le forze generalizzate sono definite come in numero di <math>I</math> [[grandezze scalari]], con '''<math>I</math>''' il grado di libertà del sistema:
:<math>Q_i = \frac{\partial W}{\partial q_i} = \sum_{k = 1}^N \mathbf F_k \cdot \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i},</math>
 
dove <math>W</math> è il [[lavoro]] della [[forza risultante|risultante]] attiva <math>\mathbf F</math> agente sul sistema. Si tratta quindi in termini newtoniani per variabili lunghezza e angolo rispettivamente delle grandezze [[forza]] e [[momento meccanico]] prese lungo la variabile, nel caso più generale di una combinazione delle due.
 
Nel caso di [[vincolo|vincoli]] bilaterali permettono di ignorare nell'analisi del sistema le [[reazioni vincolari]] (di risultante '''<math>\mathbf R</math>'''), anche per '''sistemi scleronomi''': dato uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta x_k</math>, ottenuto considerando solo gli spostamenti ammissibili con i vincoli considerati come ''fissi'' all'istante di riferimento, il [[lavoro virtuale]] agente sull'n-esima particella del sistema vale:
:<math>\delta W_k=(\mathbf F_k+\mathbf R_k)\cdot \mathbf{\delta x}_k</math>
Se i vincoli del sistema sono bilaterali, per il [[principio delle reazioni vincolari]] i lavori virtuali vincolari sono nulli, e cioè le reazioni sono ortogonali agli spostamenti virtuali:
:<math>\delta W_{i} = \mathbf F_i\cdot \delta \mathbf x_i.</math>
 
Esprimendo <math>\mathbf{\delta x}_k</math> in funzione delle coordinate generalizzate <math>q_i</math>, e ricordando che <math>\frac{\partial \mathbf x_k}{\partial t}=0</math> per definizione di spostamento virtuale:
 
:<math>\delta W_k=\sum_{i=1}^I \mathbf F_k\cdot \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i}\delta q_i=\sum_{i=1}^I F_{k,i} \cdot \delta q_i.</math>
 
Il lavoro virtuale sulla particella sottoposta a vincoli bilaterali è interamente calcolabile tramite le forze generalizzate agenti su di essa. L'approccio lagrangiano risulta quindi particolarmente utile a livello [[ingegneria|ingegneristico]], dove è necessario risalire allo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno [[spostamento virtuale]] <math>\delta q_i</math> o alle [[sollecitazioni esterne]] imposte realmente dai vincoli.
In base alle [[equazioni di Lagrange]] del I tipo e in [[forma di Nielsen]] si può legare la forza generalizzata all'energia cinetica del sistema:
 
:<math>Q_i = {\partial{T}\over \partial{\dot q_i}} - 2 {\partial{T}\over \partial q_i},</math>,
 
La forza generalizzata differisce in generale per il secondo termine <math> - \frac{\partial T}{\partial q_i}</math> dalla derivata temporale della quantità di moto <math>\dot P_i</math>, cui si arriverebbe erroneamente inducendo una generalizzazione da una definizione di [[forza]] basata sul [[secondo principio della dinamica]], valida solo per la dinamica newtoniana.
La quantità di moto generalizzata è definita come grandezza corrispondente alle [[quantità di moto]] newtoniane:
 
:<math>P_i = \sum_{k = 1}^N p_k \frac{\partial \mathbf x_k}{\partial q_i} = \sum_{k = 1}^N m_k \dot {\mathbb x}_k \frac{\partial \dot {\mathbb x}_n}{\partial \dot q_i} = \frac{\partial}{\partial \dot q_i} {\sum_{k = 1}^N \frac{1}{2}m_k \dot {\mathbf x}_k^2}.</math>
\sum_{k = 1}^N m_k \dot {\mathbb x}_k \frac{\partial \dot {\mathbb x}_n}{\partial \dot q_i} =
\frac{\partial}{\partial \dot q_i} {\sum_{k = 1}^N \frac{1}{2}m_k \dot {\mathbf x}_k^2}</math>
 
Risulta che:
 
:<math>P_i = \frac{\partial T}{\partial \dot q_i}=\sum_{j = 1}^I H_{ij} T_{(\bar 0)} \dot q_j + \nabla_i T_{(\bar 0)} .</math>
 
Quest'ultima equivalenza può essere comprovata utilizzando la dimostrazione delle [[equazioni di Lagrange]]. La quantità di moto generalizzata vale dunque:
 
:<math>\mathbf P_{(\mathbf q)} = \underline\underline H\, T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q} + \nabla T_{(\bar 0)} .</math>
 
Si tratta di una forma lineare dell'energia cinetica nelle velocità generalizzate. Per un sistema olonomo, in particolare, risulta:
 
:<math>\mathbf P_{(\mathbf q)} = \underline\underline H\, T_{(\bar 0)} \cdot \dot {\mathbf q}.</math>
 
Si deve porre attenzione nel legare quantità di moto generalizzate e forze generalizzate, in quanto le quantità di moto lagrangiane sono in base alle equazioni di Lagrange del I tipo: