Prodotto diretto: differenze tra le versioni

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Il '''prodotto diretto''' di due [[gruppo (matematica)|gruppi]] (''G<sub>1</sub>'', *<sub>1</sub>), (''G<sub>2</sub>'', *<sub>2</sub>) è il gruppo (''G''<sub>1</sub>&times; ''G''<sub>2</sub>, *<sub>&times;</sub>) che si ottiene munendo il [[prodotto cartesiano]] ''G''<sub>1</sub>&times;''G''<sub>2</sub> dell'operazione *<sub>&times;</sub> definita da
 
:(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>)*<sub>&times;</sub>(''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>) := (''a''<sub>1</sub> *<sub>1</sub> ''b''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub> *<sub>2</sub> ''b''<sub>2</sub>).
 
Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottointendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la forma più leggibile
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*L' ''elemento inverso'' di (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) è (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>)<sup>-1</sup> := (''a''<sub>1</sub><sup>-1</sup>, ''a''<sub>2</sub><sup>-1</sup>), infatti:
::(''a''<sub>1</sub><sup>-1</sup>, ''a''<sub>2</sub><sup>-1</sup>)(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>) = (''a''<sub>1</sub><sup>-1</sup>a<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub><sup>-1</sup>''a''<sub>2</sub>) = (''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>).
 
Se ''G''<sub>1</sub> e ''G''<sub>2</sub> sono scritti in notazione additiva, (''G''<sub>1</sub>&times; ''G''<sub>2</sub>, +<sub>&times;</sub>) è anche detto '''somma diretta''' dei due gruppi.
 
=== Proprietà ===
* I due gruppi fattori ''G''<sub>1</sub> e ''G''<sub>2</sub> possono essere identificati canonicamente con due [[sottogruppo normale|sottogruppi normali]]
::<math> H_2H_1 = \{(a_1, e_2)\ |\ a_1 \in G_1\} </math>
::<math> H_1H_2 = \{(e_1, a_2)\ |\ a_2 \in G_2\} </math>
:rispettivamente. Infatti le due applicazioni
::<math> f_1:G_1 \to H_1\ \ f_1(a_1) = (a_1, e_2) </math>
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==Voci correlate==
*[[glossario di teoria dei gruppi]]
*[[Topologia prodotto]]
 
[[Categoria:Teoria dei gruppi]]